GRAY (m-1)

for i:=1 to n do s[i]:=0;

begin {j*2^p-1 = i}

j:=j div 2;

p:= p+1

end; {p определяет номер изменяемого разряда}

if p <= n then

{3} s[p]:=1-s[p]

{4} until p>n

end.

Комментарий. Пусть после выполнения оператора {1} i имеет двоичное разложение b_m...b_p0...0, где b_p=1 (или до выполнения оператора {1} значение i в двоичной системе выглядело как b_m...b_p+101...1 (сравните с программой SET1)). Для определения p достаточно выполнить оператор {2}. Условие {4} означает, что уже сгенерировано 2ⁿ кодовых слов.

Упражнение. Определить вычислительную сложность программыSET3.

Улучшить временные характеристики приведенной программы можно за счет замены цикла {2} более совершенной конструкцией. Здесь возможны два подхода . Первый основан на непосредственном применении машинных команд, а второй - на использовании определенной закономерности в последовательности номеров изменяемых разрядов в текущем кодовом слове.

Перейдем к изложению первого способа. Предположим, что порядок генерируемых кодовых слов меньше чем длина машинного слова в арифметических и логических командах ЭВМ. Пусть знак º обозначает команду по разрядного сравнения двух слов (т.е. в результате получается новое слово, в котором единицы стоят только а тех разрядах, которые различны в заданных словах). Знак & обозначает поразрядную конъюнкцию двух слов. Применив эти команды, можно улучшить временные характеристики программы SET3. В самом деле s можно хранить в упакованном виде в одном слове. Пусть в i1 хранится значение i до выполнения оператора {1}, т.е. i1=i-1. Тогда оператор {0} эквивалентен s:=0; оператор {2} - p:=(iºi1)&i; оператор {3} - s:=sºp; условие {4} записывается как i=2ⁿ.

Пример. Пусть длина машинного слова равна 16. После оператора {1} i=3984. Тогда машинное представление:

i=0000 1111 1001 0000

i1=i-1=0000 1111 1000 1111

iºi1=0000 0000 0001 1111

p=(iºi1)&i=0000 0000 0001 0000

Случай когда n совпадает с длиной машинного слова, поддается подобной модификации, но требует учета ‘переполнения’ слов.

Упражнение. Используя равенство I_n = P_n показать, что если 0£i<n и b_nb_n-1...b₀-двоичное представление i, записанное в n+1 позиции и G_i=g₁g₂...g_n i-ый по порядку код Грея, генерируемый программой SET3, то g_k = b_n-k+b_n-k+1, 1£k£n. Построить программу генерации кодов Грея на основе последнего равенства.

Второй способ [4] строится на хранении в памяти последовательности значений номеров изменяемых разрядов в текущем кодовом слове, т.е. на хранении значений последовательности P_n. Вследствие рекурсивного определения P_n естественно организовать хранение ее элементов в виде стека. В этом случае генерация ее элементов может быть описана по следующей итеративной схеме:

1) {инициализация стека} Вначале стек содержит элементы n,n-1,...,1 (с 1 в вершине).

2) Алгоритм выталкивает верхний элемент i и помещает его в последовательность.

3) В стек добавляются элементы i-1,i-2,...,1.

4) Повторяются выполнения с шага 2 до тех пор, пока стек не опустошится.

Упражнения. 1.Доказать корректность приведенного алгоритма.

2. Написать программу генерации P_n по этому алгоритму.

3. Оценить временную и емкостную сложность полученной программы.

Отметим, что занесение значений в стек фактически совпадает с занесением значений параметра m в стек исполняемой программы при вызовах процедуры GRAY из SET2, и поэтому не дает существенного выигрыша по сравнению с алгоритмами SET2 и SET3. Однако если организовать стек в виде списочной структуры особого типа, при которой действия по включению на шаге 3 элементов i-1,i-2,...,1 в стек выполняются за постоянное число операций, независящих от i, то можно заметно улучшить временные характеристики алгоритма.

Пусть стек хранится в массиве (t₀,t₁,...,t_n), при этом t₀ указывает на верхний элемент в стеке, и для каждого i>0 t_i определяет значение расположенное в стеке под элементом i, если i находится в стеке. Заметим, что элементы i-1,i-2,...,1 помещаются в стек после удаления элемента i за счет изменения значения t₀ на 1.Если i нет в стеке, то значение t_i может быть, вообще говоря, любым, так как не оказывает никакого влияния на вычисления. Однако его значение разумно установить равным i+1, т.к. по свойству алгоритма, в случае когда в следующий раз элемент i+1 будет помещен в стек, элементом, находящимся над ним, будет i. Удаление из стека элемента i в этом случае может быть осуществлено за счет пересылки t_i-1 в t_i. Алгоритм порождения последовательности P_n на языке Паскаль может быть записан так:

program PN ;

const n= ; n1 = ; {n1=n+1; }

var t : array [0..n] of 1..n1; {стек}

p: integer;

begin