Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных

Рис. 74. Схематическое представление различных корреляционных зависи­мостей с соответствующими значениями коэффициента линейной корреля­ции (цит. по: Шерла К. Факторный анализ. М, 1980).

______ Часть II. Введение в научное психологическое исследование___

Наконец, фрагмент Е дает коэффициент корреляции, равный или близкий к 0, так как в данном случае связь между перемен­ными хотя и существует, но не является линейной.

Коэффициент линейной корреляции определяется при по­мощи следующей формулы:

где г — коэффициент линейной корреляции;

х, у — средние выборочные значения сравниваемых величин; х., у — частные выборочные значения сравниваемых величин; п — общее число величин в сравниваемых рядах показателей;

si' S_y ~ дисперсии, отклонения сравниваемых величин от

средних значений.

Пример.Определим коэффициент линейной корреляции между следующими двумя рядами показателей. Ряд 1:2,4,4,5,3, 6, 8. Ряд II: 2, 5, 4, 6, 2, 5, 7. Средние значения этих двух рядов соответственно равны 4,6 и 4,4. Их дисперсии составляют следую­щие величины: 3,4 и 3,1. Подставив эти данные в приведенную выше формулу коэффициента линейной корреляции, получим следующий результат: 0,92. Следовательно, между рядами дан­ных существует значимая связь, причем довольно явно выражен­ная, так как коэффициент корреляции близок к единице. Дейст­вительно, взглянув на эти ряды цифр, мы обнаруживаем, что большей цифре в одном ряду соответствует большая цифра в дру­гом ряду и, наоборот, меньшей цифре в одном ряду соответству­ет примерно такая же малая цифра в другом ряду.

К коэффициенту ранговой корреляции в психолого-педаго­гических исследованиях обращаются в том случае, когда при­знаки, между которыми устанавливается зависимость, являют­ся качественно различными и не могут быть достаточно точно оценены при помощи так называемой интервальной измеритель­ной шкалы. Интервальной называют такую шкалу, которая по­зволяет оценивать расстояния между ее значениями и судить о

______ Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных___

том, какое из них больше и насколько больше другого. Напри­мер, линейка, с помощью которой оцениваются и сравниваются длины объектов, является интервальной шкалой, так как, поль­зуясь ею, мы можем утверждать, что расстояние между двумя и шестью сантиметрами в два раза больше, чем расстояние между шестью и восемью сантиметрами. Если же, пользуясь некоторым измерительным инструментом, мы можем только утверждать, что одни показатели больше других, но не в состоянии сказать на сколько, то такой измерительный инструмент называется не ин­тервальным, а порядковым.

Большинство показателей, которые получают в психолого-педагогических исследованиях, относятся к порядковым, а не к интервальным шкалам (например, оценки типа «да», «нет», «ско­рее нет, чем да» и другие, которые можно переводить в баллы), поэтому коэффициент линейной корреляции к ним неприменим. В этом случае обращаются к использованию коэффициента ран­говой корреляции, формула которого следующая:

где R_s — коэффициент ранговой корреляции по Спирмену;

d_i — разница между рангами показателей одних и тех же ис­пытуемых в упорядоченных рядах;

п — число испытуемых или цифровых данных (рангов) в кор­релируемых рядах.

Пример.Допустим, что педагога-экспериментатора интере­сует, влияет ли интерес учащихся к учебному предмету на их успеваемость. Предположим, что с помощью некоторой психо­диагностической методики удалось измерить величину интере­са к учению и выразить его для десяти учащихся в следующих цифрах: 5,6,7,8,2,4,8,7,2,9. Допустим также, что при помощи другой методики были определены средние оценки этих же уча­щихся по данному предмету, оказавшиеся соответственно рав­ными: 3,2; 4,0; 4,1; 4,2; 2,5; 5,0; 3,0; 4,8; 4,6; 2,4.

Упорядочим оба ряда оценок по величине цифр и припишем каждому из учащихся по два ранга; один из них указывает на то,

19* 579

______ Часть II. Введение в научное психологическое исследование____

какое место среди остальных данных ученик занимает по успе­ваемости, а другой — на то, какое место среди них же он занима­ет по интересу к учебному предмету. Ниже приведены ряды цифр, два из которых (первый и третий) представляют исходные данные, а два других (второй и четвертый) — соответствующие ранги¹:

Определив сумму квадратов различий в рангах ( ^df ) и под­ставив нужное значение в числитель формулы, получаем, что ко­эффициент ранговой корреляции равен 0,97, т.е. достаточно вы­сок, что и говорит о том, что между интересом к учебному пред­мету и успеваемостью учащихся действительно существует ста­тистически достоверная зависимость.

Однако по абсолютным значениям коэффициентов корреля­ции не всегда можно делать однозначные выводы о том, являют­ся ли они значимыми, т.е. достоверно свидетельствуют о суще­ствовании зависимости между сравниваемыми переменными. Может случиться так, что коэффициент корреляции, равный 0,50, не будет достоверным, а коэффициент корреляции, составивший 0,30, — достоверным. Многое в решении этого вопроса зависит от того, сколько показателей было в коррелируемых друг с дру­гом рядах признаков: чем больше таких показателей, тем мень­шим по величине может быть статистически достоверный коэф­фициент корреляции.

В табл. 35 представлены критические значения коэффици­ентов корреляции для различных степеней свободы. (В данном

¹ Если исходные данные, которые ранжируются, одинаковы, то и их ранги также будут одинаковыми. Они получаются путем суммирования и деления пополам тех рангов, которые соответствуют этим данным.

Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных___

Таблица 35 Критические значения коэффициентов корреляции для различных степеней свободы (и - 2) и разных вероятностей допустимых ошибок

Часть II. Введение в научное психологическое исследование

случае степенью свободы будет число, равное и — 2, где п — ко­личество данных в коррелируемых рядах.) Заметим, что значи­мость коэффициента корреляции зависит и от заданного уров­ня значимости или принятой вероятности допустимой ошибки в расчетах. Если, к примеру, коррелируется друг с другом два ря­да цифр по 10 единиц в каждом и получен коэффициент корре­ляции между ними, равный 0,65, то он будет значимым на уров­не 0,95 (он больше критического табличного значения, состав­ляющего 0,6319 для вероятности допустимой ошибки 0,05, и меньше критического значения 0,7646 для вероятности допусти­мой ошибки 0,01).

Метод множественных корреляций в отличие от метода пар­ных корреляций позволяет выявить общую структуру корреля­ционных зависимостей, существующих внутри многомерного экспериментального материала, включающего более двух пере­менных, и представить эти корреляционные зависимости в виде некоторой системы.

Один из наиболее распространенных вариантов этого мето­да — факторный анализ — позволяет определить совокупность внутренних взаимосвязей, возможных причинно-следственных связей, существующих в экспериментальном материале. В ре­зультате факторного анализа обнаруживаются так называемые факторы — причины, объясняющие множество частных (пар­ных) корреляционных зависимостей.

Фактор — математико-статистическое понятие. Будучи пере­веденным на язык психологии (эта процедура называется содер­жательной или психологической интерпретацией факторов), он становится психологическим понятием. Например, в известном 16-факторном личностном тесте Р. Кеттела, который подробно рас­сматривался в первой части книги, каждый фактор взаимно одно­значно связан с определенными чертами личности человека.

С помощью выявленных факторов объясняют взаимозави-. симость психологических явлений. Поясним сказанное на при­мере. Допустим, что в некотором психолого-педагогическом экс­перименте изучалось взаимовлияние таких переменных, как ха­рактер, способности, потребности и успеваемость учащихся. Предположим далее, что, оценив каждую из этих переменных у

Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных

достаточно представительной выборки испытуемых и подсчитав коэффициенты парных корреляций между всевозможными па­рами данных переменных, мы получили следующую матрицу ин­теркорреляций (в ней справа и сверху цифрами обозначены в пе­речисленном выше порядке изученные в эксперименте перемен­ные, а внутри самого квадрата показаны их корреляции друг с другом; поскольку всевозможных пар в данном случае меньше, чем клеток в матрице, то заполнена только верхняя часть матри­цы, расположенная выше ее главной диагонали).

Анализ корреляционной матрицы показывает, что пе­ременная 1 (характер) значи­мо коррелирует с переменны­ми 2 и 3 (способности и по­требности). Переменная 2 (способности) достоверно коррелирует с переменной 3 (потребности), а переменная 3 (потребности) — с перемен­ной 4 (успеваемость). Факти­чески из шести имеющихся в матрице коэффициентов корреля­ции четыре являются достаточно высокими и, если предполо­жить, что они определялись на совокупности испытуемых, пре­вышающей 10 человек, — значимыми.

Зададим некоторое правило умножения столбцов цифр на стро­ки матрицы: каждая цифра столбца последовательно умножается на каждую цифру строки и результаты парных произведений за­писываются в строку аналогичной матрицы. Пример: если по это­му правилу умножить друг на друга три цифры столбца и строки, представленные в левой части матричного равенства, то получим матрицу, находящуюся в правой части этого же равенства:

Часть II. Введение в научное психологическое исследование

Задача факторного анализа по отношению к только что рас­смотренной является как бы противоположной. Она сводится к тому, чтобы по уже имеющейся матрице парных корреляций, ана­логичной представленной в правой части показанного выше мат­ричного равенства, отыскать одинаковые по включенным в них цифрам столбец и строку, умножение которых друг на друга по заданному правилу порождает корреляционную матрицу. Иллю­страция:

Здесь x_v х_у х₃ и х_А — искомые числа. Для их точного и быст­рого определения существуют специальные математические про­цедуры и программы для ЭВМ.

Допустим, что мы уже нашли эти цифры: х_х = 0,45, х₂= 0,36 х₃ - 1,12, х₄ = 0,67. Совокупность найденных цифр и называется фактором, а сами эти цифры — факторными весами или нагруз­ками.

Эти цифры соответствуют тем психологическим переменным, между которыми вычислялись парные корреляции. х_х — харак­тер, х₂ — способности, х₃ — потребности, х₄ — успеваемость. По­скольку наблюдаемые в эксперименте корреляции между пере­менными можно рассматривать как следствие влияния на них общих причин — факторов, а факторы интерпретируются в пси­хологических терминах, мы можем теперь от факторов перейти к содержательной психологической интерпретации обнаружен­ных статистических закономерностей. Фактор содержит в себе ту же самую информацию, что и вся корреляционная матрица, а факторные нагрузки соответствуют коэффициентам корреляции. В нашем примере х₃ (потребности) имеет наибольшую фактор­ную нагрузку (1,12), а х, (способности) — наименьшую (0,36).

Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных

Следовательно, наиболее значимой причиной, влияющей на все остальные психологические переменные, в нашем случае явля­ются потребности, а наименее значимой — способности. Из кор­реляционной матрицы видно, что связи переменной х₃ со всеми остальными являются наиболее сильными (от 0,40 до 0,75), а кор­реляции переменной х₂ — самыми слабыми (от 0,16 до 0,40).

Чаще всего в итоге факторного анализа определяется не один, а несколько факторов, по-разному объясняющих матрицу интер­корреляций переменных. В таком случае факторы делят на ге­неральные, общие и единичные. Генеральными называются фак­торы, все факторные нагрузки которых значительно отличают­ся от нуля (нуль нагрузки свидетельствует о том, что данная пе­ременная никак не связана с остальными и не оказывает на них никакого влияния в жизни). Общие — это факторы, у которых часть факторных нагрузок отлична от нуля. Единичные — это факторы, в которых существенно отличается от нуля только одна из нагрузок. На рис. 75 схематически представлена структура факторного отображения переменных в факторах различной сте­пени общности.

Рис. 75. Структура факторного отображения взаимосвязей переменных.

Отрезки, соединяющие факторы с переменными, указывают на высокие

факторные нагрузки

Часть II. Введение в научное психологическое исследование