Напряжения при кручении.
Кручение - это деформация, вызываемая действием пар сил, лежащих в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси стержня. На основании опытных данных известно:
1) если на поверхность вала нанести сетку в виде квадратиков, то при приложении вращающею момента Т квадраты перекашиваются, обращаясь в ромбы т.е. подвергаются деформации сдвига (Рисунок 54. а);
2) образующие поворачиваются на один и тот же угол у. При малых деформациях они остаются прямыми (при больших - винтовыми);
3) расстояния между поперечными сечениями dz практически не изменяются, следовательно, в направлении параллельном оси стержня z нормальное напряжение отсутствует σ = 0;
4) сечения круглые и плоские до деформации остаются плоскими, но поворачиваются вокруг оси на некоторый угол, называемый углом закручивания ф. Величина этого угла пропорциональна величине вращающего момента и расстоянию между сечениями.
5) радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми.
Рис 54.
На основании этих наблюдений в расчетах предполагают, что сечения плоские до закручивания остаются плоскими после закручивания; расстояния между поперечными сечениями не изменяются, а радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми.
В соответствии с этими гипотезами материал в поперечных сечениях подвергается чистому сдвигу, т.е. при кручении стержня круглого поперечного сечения по площадкам, перпендикулярным к оси вала, возникают только касательные напряжения (Рисунок 54. б).
Разрежем мысленно скручиваемый вал на расстоянии 2 и отбросим правую часть. Левая оставшаяся часть должна находиться в равновесии под действием вращающего момента Т и крутящего момента Мz от внутренних сил dF, которые заменяют действие отброшенной части (Рисунок 54. б):
Мz = Т.
Выделим элементарную площадку dA. Сила, приложенная к ней будет: ;
;
. (2.1)
Из полученного уравнения величину касательных напряжений найти не можем, т.к. не знаем как они распределяются но сечению, то есть, задача статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости обратимся к рассмотрению упругих деформаций вала. Рассмотрим два сечения на элементарном расстоянии dz (Рисунок 54. в).
Деформации:
Абсолютного сдвига .
Относительный сдвиг .
По закону Г ука при сдвиге касательные напряжения в точке В ; - модуль упругости второго рода, для стали .
Касательные напряжения в любой площадке на расстоянии ρ:
(2.2)
Подставим уравнение (2.2) в (2.1 ):
При интегрировании по площади ни φ, ни z не изменяются, то есть
так как ; или (2.3)
Подставим уравнение (2.3) в (2.2): . Наибольшие напряжения будут при и ; ,
где - полярный момент сопротивления круглого вала или момент сопротивления сечения при кручении. Основное условие прочности при кручении:
(2.4)
Допускаемое напряжение при кручении: .
Тогда диаметр вала из условия прочности .
2.5.2 Деформации при кручении.
Деформации мри кручении характеризуются углом поворота одного сечения относительно другою или углом закручивания.
откуда .
На длине l угол закручивания будет
- закон Гука при кручении, (2.5)
где - жесткость сечения стержня при кручении.
Принимая - крутильная податливость стержня, получим, что .
2.5.3 Условие жесткости скручиваемого вала.
Если площадь сечения изменяется по длине стержня ступенчато, а М скачкообразно, то полный угол закручивания определяют, суммируя углы закручивания по участкам, в пределах которых Мкр и Jp постоянны. Тогда условие жесткости скручиваемого вала:
(рад),
или ,
или .
Угол закручивания на единицу длины бруса называют относительным углом закручивания рад/м.
Допускаемое значение относительного угла закручивания зависит от конструкции.
Диаметр вала с учетом обеспечения жесткости:
.
Таким образом, размеры вала следует определять не только из условия прочности (2.4). но и из условия жесткости (2.5).
2.5.4 Напряжения при изгибе.
Чистым называют такой изгиб, при котором в сечениях изгибаемой балки возникают только нормальные напряжения. На основании опытных данных известно (Рисунок 55):
Рис 55.
1) При изгибе одни волокна растягиваются аb, другие сжимаются cd. Следовательно, имеется слой волокон, который отделяет сжатую зону от растянутой (Рисунок 55. б).
2) Изменяются и поперечные размеры балки. Ширина балки внизу увеличивается (сжаты продольные волокна, а поперечные волокна растянуты), вверху ширина балки уменьшается (растянуты продольные волокна, а поперечные сжаты).
3) Вертикальные линии 1-1, 2-2 остаются прямыми, но наклоняются друг к другу на некоторый угол dφ.
4) Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью (ось х).
5) Нейтральная ось х и ось у являются главными центральными осями.
Ограничения при расчете: Рассматривают участок, где балка подвергается чистому изгибу (II участок).
Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости, такой изгиб называется плоским, т.к. изогнутая ось лежит в плоскости действия силы.
Материал балки подчиняется закону Гука, и модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.
Опытные наблюдения дают основания для принятия следующих гипотез: Сечения после изгиба остаются плоскими, но поворачиваются вокруг нейтральной оси на угол dφ. Волокна не оказывают давления друг на друга (σy и σz = 0), следовательно, подвергаются простому растяжению или сжатию.
Рис 56.
Рассмотрим сечение балки. Выделим элементарные площадки dА сверху и снизу от нейтральной оси х на расстоянии у (Рисунок 56. а).
Элементарная сила (сверху растягивающая, снизу - сжимающая) будет равна dF = σdA, где σ - нормальное напряжение при растяжении.
Элементарный изгибающий момент от этой силы:
.
Изгибающий момент равен сумме элементарных моментов, т.е. интегралу по площади . (2.6)
Из полученного уравнения величину Му найти не можем, т.к. не знаем как распределяются напряжения по сечению, т.е. задача статически неопределима. Обратимся к рассмотрению деформаций (Рисунок 56. б), ρ - радиус кривизны нейтрального слоя. Длина волокна до изгиба ab = OO = l. Длина нейтрального слоя после изгиба остается постоянной .Длина волокна аb после изгиба увеличилась . Абсолютное удлинение . Относительное удлинение .
По закону Гука . (2.7)
Подставим (2.7) в (2.6) : ,
где - осевой момент инерции, или
- кривизна балки. (2.8)
Подставим уравнение (2.8) в (2.7): . Из этой формулы следует ряд важных выводов:
- центр тяжести стержня является началом координат для анализа напряжений и приведения внешних сил;
- напряжения изгиба зависят от значений Mx, Jx и координаты рассматриваемой точки;
- напряжения в любой точке, лежащей на одинаковом расстоянии от нейтральной линии, равны между собой;
- нормальные напряжения не зависят от модуля упругости стержня, например, два конструктивно одинаковых стержня из стали и и титанового сплава) при рамной внешней нагрузке имеют одинаковые напряжения в соответствующих точках сечений.
Основное условие прочности при изгибе:
(2.4)
При проектом расчете на прочность при изгибе определяют необходимые размеры сечения, например, для круглою сечения
; , мм.
Для прокатных профилей после расчета Wx подбирают номер профиля по справочным таблицам.
2.5.5 Деформации и перемещения при изгибе.
Под действием внешних сил, расположенных перпендикулярно к оси балки в плоскости симметрии, балка будет искривляться. Первоначальная прямая ось балки искривляется, превращаясь в кривую линию, которую называют изогнутой осью или упругой линией балки (Рисунок 57). Ранее было получено, что кривизна балки . - жесткость при изгибе.
Вертикальное перемещение называется прогибом
;
Поперечные сечения поворачиваются вокруг нейтральной оси. Угол поворота
|
1) - линейные перемещения (прогибы),
2) - угловые перемещения.
Причем, производная от прогиба по абсциссе равна тангенсу угла поворота поперечного сечения
или , т.к.
tgθ = θ (при малых значениях θ). Вторая производная от прогиба равна кривизне балки .
2.6 Основы теории напряженного состояния.
Если элемент материала, взятый из окрестности точки, подвергать растяжению либо сжатию в двух или грех направлениях, то материал будет находиться в условиях сложного напряженною состояния.
Различают следующие виды напряженного состояния:
1) Линейное (одноосное).
2) Плоское (двухосное).
3) Объемное (трехосное) (Рисунок 58).
Рис 58.
2.7 Прочность при переменных напряжениях.
Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 6707;