Вопрос 2 – Определение напряжений по методу угловых точек.

По формуле (3.9) можно легко найти вертикальное напряжениеσ _z под угловыми точками. Однако, согласно работам Н.А. Цытовича и К.Е.Егорова, этим выражением можно воспользоваться для определения вертикального напряжения σ _zв любой точке полупространства.

Действительно, если проекция рассматриваемой точки М' на горизонтальную поверхность полупространства (точка М) располагается в пределах площади загружения (Рисунок 13, а), то эту площадь можно разбить на четыре прямоугольника (I – Мeaf, II – Mfbg, III – Mgch, IV - Mhde) таким образом, чтобы точка М являлась угловой точкой каждого из них. Тогда напряжение σ _z найдем суммированием напряжений под угловыми точками четырех площадей загружения:

σ _z =σ _zI +σ _zII+σ _{z III} +σ _zIV=0,25 (α_I + α_II + α _III + α _IV ) p , (4.6)

где α_I , α_II , α _III , α _IV – коэффициенты, принимаемые по таблице 3.1 в зависимости от отношения сторон площадей загружения I, II, III, IV и отношения z (глубины расположения точки М') к ширине каждой из этих площадей.

Рисунок 13 – Схемы к расчету напряжений в точке М

при различном ее расположении

Когда проекция точки М' на горизонтальную поверхность полупространства (точка М) располагается вне пределов площади загружения (Рисунок 13, б), точку М аналогично можно представить как угловую точку фиктивных площадей загружения I, II, III, IV (Мeaf, Mfbg, Mgch, Mhde). При этом в пределах площадей II и IV фиктивная нагрузка прикладывается в обратном направлении. Напряжения определяют из выражения (4.7):

σ _z =σ _zI -σ _zII+σ _{z III} -σ _zIV=0,25 (α_I - α_II + α _III - α _IV ) p , (4.7)

В случае расположения точки М' так, как показано на рисунке 13, в, ее проекцию на горизонтальную поверхность полупространства (точку М) можно представить как угловую точку фиктивных площадей загружения Мhae (I), Mgbe (II), Mhdf (III), Mgcf (IV) , и тогда:

σ _z =0,25 (α_I - α_II - α _III + α _IV ) p , (4.8)

Таким образом, пользуясь методом угловых точек, можно найти напряжение σ _z в любой точке полупространства, к поверхности которого приложена равномерно распределенная нагрузка в пределах прямоугольной площади.