Преобразования Галилея

Найдем формулы преобразования координат при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Пусть инерциальная система K’ движется со скоростью относительно другой инерциальной системы K, которую будем называть неподвижной. Пусть время течет одинаково в обеих системах. Рис.1.3.1.

Выберем оси координат X’, Y’, Z’ K’-системы параллельно соответствующим осям X, Y, Z К-системы так, чтобы оси X’ и X совпадали между собой и были направлены вдоль вектора (рис.1.3.1). Взяв за начало отсчета времени

момент, когда начала координат O’ и O совпадали, запишем соотношение между радиус-векторами ’ и одной и той же точки A в K’- и К-системах:

(1.3.1)

и, кроме того,

(1.3.2)

Здесь подразумевается, что длина отрезков и ход времени не зависят от состояния движения и, следовательно, одинаковы в обеих системах отсчета. Предположение об абсолютности пространства и времени лежит в самой основе представлений ньютоновской механики, представлений, основанных на обширном экспериментальном материале, относящемся к изучению движений со скоростями, значительно меньшими скорости света.

Соотношения (1.3.1) и (1.3.2) представляют собой преобразования Галилея.

В координатах эти преобразования имеют вид

, (1.3.3)

Продифференцировав (1.3.1) по времени, найдем классический закон преобразования скорости точки при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:

(1.3.4)

Дифференцируя это выражение по времени с учетом того, что = const, получаем , (1.3.5)

т.е. ускорение точки одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

Подчеркнем еще раз, что эти соотношения справедливы, если тело движется со скоростью много меньшей скорости света в вакууме.

Основные законы ньютоновской динамики.

Эти законы, определяющие движение тел в нерелятивистской механике, были сформулированы Ньютоном и носят его имя. Эти законы, как и другие основные законы физики не выводятся, а сформулированы на основе наблюдений и экспериментов. Ньютон сформулировал три закона.

Первый закон Ньютона.

Этот закон постулирует существование инерциальных систем отсчета и его можно сформулировать: существуют такие системы отсчета, в которых свободные тела движутся с постоянными по величине и направлению скоростями. Отметим также, что второй и третий законы справедливы только в инерциальных системах. Свободным называют тело, не испытывающее внешнего воздействия. Скорость тела может измениться лишь под влиянием внешнего воздействия на него других тел.

Второй закон Ньютона.

Масса.Опыт показывает, что всякое тело оказывает сопротивление при любых попытках изменить его скорость — как по модулю, так и по направлению. Это свойство, выражающее степень неподатливости тела к изменению его скорости, называют инертностью. У различных тел оно проявляется в разной степени. Мерой инертности служит величина, называемая инертной массой или просто массой. Тело с большей массой является более инертным, и наоборот.

Введем понятие массы m, определив отношение масс двух различных тел по обратному отношению ускорений, сообщаемых им одинаковым внешним воздействием:

(1.3.6)

Отметим, что такое определение не требует предварительного измерения внешнего воздействия. Достаточно лишь располагать критерием равенства этих воздействий. Например, если на два различных тела, лежащих на гладкой горизонтальной плоскости, последовательно подействовать одной и той же пружиной, ориентировав ее горизонтально и растянув на одну и ту же длину, то можно утверждать, что в обоих случаях влияние пружины на каждое тело одинаково.

Таким образом, сравнение масс двух тел, на которые действует одна и та же сила, сводится к сравнению ускорений этих тел. Взяв некоторое тело за эталон массы, мы имеем возможность сравнить массу любого тела с этим эталоном.

Единицей массы в СИ является, как известно, килограмм (кг). Это основная единица в системе СИ.

Как показывает опыт, в рамках ньютоновской (нерелятивистской) механики масса обладает следующими двумя важнейшими свойствами:

1) масса — величина аддитивная, т. е. масса составного тела равна сумме масс его частей;

2) масса тела как такового — величина постоянная, не изменяющаяся при его движении.

Импульс материальной точки. Понятие масса характеризует свойства самого тела. В механике часто бывает удобно ввести величину, характеризующую тело в процессе его движения. Такой величиной является импульс .

Сила. Изучая на опыте различные движения, мы обнаруживаем, что в инерциальных системах отсчета всякое изменение скорости тела (или изменение его импульса) вызывается действием на него каких-либо других тел. При этом степень влияния (действия) каждого из окружающих тел на состояние движения интересующего нас тела А — это вопрос, на который в каждом конкретном случае может дать ответ только опыт.

Влияние другого тела (или тел), вызывающее ускорение тела A, называют силой. Итак, причиной ускорения тела является действующая на него сила.

Одной из важнейших характеристик силы является ее материальное происхождение. Говоря о силе, мы всегда неявно предполагаем, что в отсутствие посторонних тел сила, действующая на интересующее нас тело, равна нулю. Если же обнаруживается, что сила действует, мы ищем источник в виде того или иного конкретного тела или других тел.

Все силы, с которыми имеет дело механика, обычно подразделяют на силы, возникающие при непосредственном контакте тел (силы давления, трения), и силы, возникающие через посредство создаваемых взаимодействующими телами полей (силы гравитационные, электромагнитные). Заметим, однако, что такое подразделение сил имеет условный характер: в сущности, и при непосредственном контакте силы взаимодействия обусловлены также наличием тех или иных полей, создаваемых молекулами или атомами тел. Таким образом, все силы взаимодействия между телами обусловлены, в конечном счете, полями. Вопрос о природе сил взаимодействия выходит за рамки механики и рассматривается в других разделах физики.

Вернемся к опыту по сравнению ускорений двух различных тел под действием одинаково растянутой пружины. Тот факт, что в обоих случаях пружина была растянута одинаково, позволил нам высказать утверждение об одинаковости действия пружины, или силы со стороны пружины.

С другой стороны, сила является причиной изменения импульса тела. Ускорения же различных тел под действием одной и той же одинаково растянутой пружины разные. Наша задача так определить силу, чтобы, несмотря на различие ускорений разных тел в рассматриваемом опыте, сила была бы одной и той же.

Для этого, прежде всего надо выяснить: что является одинаковым в данных опытах? Опыт показывает, что такой величиной является скорость изменения импульса тела. Эту величину и естественно взять за определение силы. Учитывая, что изменение импульса — вектор, будем считать и силу вектором, совпадающим по направлению с вектором изменения импульса .

Итак, в ньютоновской механике сила, действующая на тело массы m, определяется как скорость изменения импульса

(1.3.7)

Оправданием именно такого определения силы, кроме соображений наибольшей простоты и удобства, послужила дальнейшая проверка всех вытекающих из него следствий.

Соотношение (1.3.7) можно трактовать как второй закон Ньютона: скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе. Это уравнение называют законом движения материальной точки.

Если масса тела в процессе движения не изменяется, то (1.3.7) можно переписать (1.3.8)

Это соотношение также можно полагать формулировкой второго закона Ньютона.

Подчеркнем, что второй закон Ньютона и уравнения (1.3.7) и (1.3.8) получают конкретное содержание только после того, как установлен вид функции — зависимость от определяющих ее величин. Установление вида этой зависимости в каждом конкретном случае является одной из основных задач физической механики.

Единицей силы в СИ является ньютон (Н). Ньютон — это сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с².

О сложении сил. На всякую материальную точку в данных конкретных условиях действует, строго говоря, всего только одна сила , модуль и направление которой определяются расположением этой точки относительно всех окружающих тел, а иногда также и ее скоростью. И, тем не менее, часто бывает удобно эту силу представлять как суммарный результат действия отдельных тел, или сил ₁, ₂ … Опыт показывает, что если тела, являющиеся источниками сил, не влияют друг на друга и поэтому не меняют своего состояния от присутствия других тел, то сила

= ₁ + ₂ + …,

где _i — сила, с которой действовало бы на данную материальную точку i-е тело в отсутствие других тел.

Если это так, то говорят, что силы ₁, ₂ … подчиняются принципу суперпозиции. Такое утверждение надо рассматривать как обобщение опытных фактов. Силу в этом случае называют равнодействующей.