Гипотеза Ньютона о коэффициенте восстановления

Пусть о неподвижную плоскость ударяется тело, которое будем считать материальной точкой. Обозначим скорость падения υ, ско­рость отражения u, угол падения α, а угол отражения β (рис. 134).

Мгновенной силой при рассматриваемом ударе является ре­акция поверхности. Так как мгновенным трением можно пре­небречь, то мгновенной силой является нормальная реакция N.

Применяя к движущейся точке теорему об изменении коли­чества движения за время удара τ, получим

где - импульс мгновенной силы N , направленной по нормали n к плоскости.

Векторы u, υи nлежат в одной плоскости. Поэтому, проектируя обе части этого равенства на направления нормали n и касательной τ, получим два уравнения:

Из второго уравнения видим, что

т. е. касательные составляющие скоростей точки до и после удара равны между собой. Для определения же нормальных составляющих u_n и υ_n имеем лишь одно первое уравнение. Чтобы найти u_n и υ_n, необходимо к этому уравнению добавить еще одно уравнение, в ко­тором были бы учтены физические (в первую очередь упругие) свой­ства материала падающего тела и плоскости, о которую оно ударяет­ся. Это недостающее уравнение дал И. Ньютон в виде

где величина k, равная отношению абсолютных величин нормальных составляющих скорости точки М после удара u_n и до удара υ_n, назы­вается коэффициентом восстановления при ударе и определяется опытным путем.

Как показывают опыты, коэффициент восстановления не может быть больше единицы и, в зависимости от материала соударяющихся тел, принимает значения от 0 до 1:

0≤k≤1,

причем