Об интегрировании динамических уравнений Эйлера

Общий случай решения задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки и, следовательно, решение системы (111.228) и (11.113) дифференциальных уравнений связан с непреодолимыми математическими трудностями. В наиболее простых случаях, когда действующие на тело внешние силы либо приводятся к равнодей­ствующей, линия действия которой проходит через неподвижную точ­ку, либо имеют равный нулю главный момент относительно непо­движной точки, уравнения (111.228) принимают вид

допускают два первых интеграла

Один из этих интегралов получим, если первое из уравнений умножим на р, второе — на q, а третье — на r и результаты сложим;

Преобразование, о котором идет речь, имеет весьма сложный вид:

Предлагаем читателю убедиться в том, что каждое из написанных уравне­ний совпадает с соответствующим уравнением (111.228). При этом следует обра­титься к рис. 81, имея в виду, что

Рис. 120

для получения второго интеграла нужно первое из уравнений умно­жить на Ар, второе — на Вq, третье — на Сr и сложить эти произве­дения. Можно показать, что произвольные постоянные, входящие в эти интегралы, имеют простое механическое истолкование, а именно: постоянная k представляет собой абсо­лютную величину кинетического момента отно­сительно неподвижной точки (k = L₀), а по­стоянная h равна, кинетической энергии те­ла (h=T).

Практический интерес представляет случай, когда твердое тело вращается вокруг непо­движной точки под действием силы тяжести (рис. 120).

Обозначим координаты центра тяжести С в подвижной системе координат ξ_c, η_c, ζ_c. Про­екции силы тяжести Р на подвижные оси име­ют вид

где

Если обозначить радиус-вектор точки С через г_c, а орты подвижных осей через i, j, k, то момент силы тяжести относительно неподвижной точки О будет

M_O(P)=r_c×P=-mg

и, следовательно, моменты силы Р относительно подвижных осей:

Подставляя эти выражения в уравнения (111.228), получим ди­намические уравнения Эйлера для случая, когда тело вращается вокруг неподвижной точки под действием силы тяжести:

В настоящем курсе не рассматривается вопрос об интегрировании динамических уравнений Эйлера. Заметим лишь, что трудности

Случай Эйлера Случай Случай

Логранж Корейской

связанные с решением этого вопроса, привели исследователей к рассмотрению частных случаев движения тела вокруг неподвижной точки. Л. Эйлер рассмотрел случай, когда тело под действием силы тяжести вращается вокруг неподвижной точ­ки, совпадающей с центром тяжести тела; Лагранж,— когда

А = В и центр тяжести тела лежит на оси симметрии, проходящей через неподвижную точку. С. В. Ковалевская ис­следовала случай, когда А=В = 2С, а центр тяжести тела находится в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.Эти случаи про­иллюстрированы на рис. 121, принадлежащем Н. Е. Жуков­скому. Теория вращательного движения твердого тела вокруг непод­вижной точки получила большое развитие в теории гироскопов, ши­роко применяемых в современной технике.

Пример. Рассмотрим случай регулярной прецессии. Этот случай движения тела вокруг неподвижной точки будет иметь место в приближенной теории гироскопа.

Пусть твердое тело имеет материальную ось симметрии ζ, вокруг которой оно вращается с постоянной по величи­не угловой скоростью ω₁, а ось ξ в свою очередь вращается вокруг неподвижной оси г (рис. 122) с угловой скоростью шз, причем ось образует с z постоянный угол нутации θ. Движе­ние тела, при котором соблюдаются указанные выше усло­вия, называется регулярной прецессией, а ω₂ — угловой ско­ростью регулярной прецесии. Тогда кинематические формулы Эйлера (11.113) примут вид:

В силу симметрии А=В. Поэтому из третьего уравнения (111.228) найдем

откуда

следовательно,

По (111.212) найдем

Интегрируя эти уравнения, найдем углы Эйлера, т. е. определим вращение тела вокруг неподвижной точки при высказанных предположениях:

θ=const,

где n₂ — постоянная; φ₀, ψ₀ — значения углов φ и ψ в момент t = 0. Таким образом, в случае регулярной прецессии угол нутации 6 остается постоянным, а угол прецессии ψ и угол собственного вращения φ изменяются пропорцио­нально времени.