Характеристическое свойство множества

Всякое свойство можно рассматривать как принадлежность его некоторым предметам.

Например, свойством «быть красным» обладают некоторые цве­ты, ягоды, автомашины и другие предметы. Свойством «быть круг­лым» обладают луна, мяч, колеса велосипедов и автомашин, детали различных машин и станков и др.

Таким образом, с каждым свойством связывается множество (предметов), обладающих этим свойством. Говорят также, что мно­жество характеризуется данным свойством, или множество задано указанием характеристического свойства.

Под характеристическим свойством множества понимают такое свойство, которым обладают все предметы, принадлежащие этому множеству (элементы этого множества), и не обладает ни один предмет, не принадлежащий ему (не являющийся его элементом).

Иногда свойство отождествляется с множеством предметов, характеризуемым этим свойством. Говоря «круглое», мы одноврег менно мыслим о множестве всех круглых предметов.

Если некоторое множество А задано указанием характеристиче­ского свойства Р, то это записывается следующим образом:

А=\х\Р(х))

и читается так: «А — множество всех х таких, что х обладает свой­ством Р», или, короче, «Л — множество всех х, обладающих свой­ством Р». Когда говорят: «множество всех предметов, обладающих свойством Р», имеются в виду те и. только те предметы, которые обладают этим свойством.

Таким образом, если множество Л задано характеристическим свойством Р, то это означает, что оно состоит из всех предметов, обладающих этим свойством, и только из них. Если какой-нибудь предмет а обладает свойством Р, то он принадлежит множеству Л и, наоборот, если предмет а принадлежит множеству Л, то он

обладает свойством Р.

Предложение «предмет а принадлежит множеству Л», или «пред-_{мет а} — элемент множества Л», обозначается кратко «а^А». Предложение «предмет а обладает свойством Р» — «Р (а)». Эти два предложения р а в н о с и л ь н ы, т. е. выражают одну и ту же мысль в разной форме, первое — на языке множеств, второе — на языке свойств. Высказывания, выражаемые этими двумя предложениями, одновременно истинны или ложны: истинны, если предмет а дей­ствительно принадлежит множеству Л (обладает свойством Р), ложны в противном случае. Для обозначения равносильности двух предложений применяется знак о.

Таким образом, если А = {х\Р {х)\, то пишут: а^АоР (а). Например, если А — множество детей, живущих на Ленинском проспекте, то предложения «Саша живет на Ленинском проспекте» и «Саша принадлежит множеству детей, живущих на Ленинском проспекте» (хотя так обычно не говорят) равносильны. Они выра­жают истинные высказывания, если Саша, о котором идет речь в них, действительно живет на Ленинском проспекте, и ложные высказы­вания в противном случае.

Предложение Р (х), т. е. «* обладает свойством Р>, например <х живет на Ленинском проспекте», или «...живет на Ленинском проспекте», не выражает высказывания, так как оно содержит «пустое место» (переменную) и бессмысленно задавать вопрос, истинно оно или ложно. Оно обращается в высказывание истинное или ложное, если вместо переменной (на пустое место) поставить какое-нибудь ее значение. Такое предложение с пустым местом (переменной), которое может обращаться в истинное или ложное высказывание, называется в ы с к а-зывательной формой или предикатом.

Говоря в дальнейшем «предложение», будем иметь в виду высказывание (т. е. повествовательное предложение без пустых мест), или предикат

Например, предложения 2 + 2 = 4, 2 + 2 = 5, 3<5, 6<5 — высказывания, причем первое и третье — истинные высказывания, второе и четвертое — ложные, предложения же 2 + х = 5, или 2 + ...=5, и х<5, или ... <5,— предикаты, которые обращаются в истинные или ложные высказывания лишь при подстановке вместо переменной х (на пустое место) какого-нибудь ее значения. Такие предикаты используются при обучении маленьких детей в заданиях типа: «Какое число надо поставить на пустое место, чтобы то, что получится, было верно?» Естественно, что некоторым свойством может обладать бесконеч­ное множество предметов, другим — лишь конечное множество. Поэтому множества подразделяются на конечные и бесконечные (в главе V мы вернемся к этому вопросу).

Конечное множество может быть задано инепосредственны перечислением всех его элементов в произвольном порядке. Напри­мер, множество детей, живущих на Ленинском проспекте, может быть задано описанием с помощью характеристического свойства:

i_x | х —живет на Ленинском проспекте} —

или же перечислением всех его элементов в произвольном порядке: {Лена, Саша, Витя, Ира, Коля}.

Вполне понятно, что бесконечное множество нельзя задать пе­речислением всех его элементов.

Математика в большей мере имеет дело с бесконечными множест­вами (числа, точки, фигуры и другие объекты), но основные мате­матические идеи и логические структуры могут быть смоделированы на конечных множествах. В таком случае истинность предложе­ния выражающего общее свойство элементов конечного множества (все элементы множества А обладают свойством Р) или суще­ствование элемента, обладающего определенным свойством (суще­ствует элемент множества М, обладающий свойством Р), может быть установлена непосредственной проверкой. Если же это пред­ложение получено логическим путем, то проверка подтверждает (или опровергает) правильность рассуждения, с помощью которого

оно получено.

Естественно, что в предматематическои подготовке обычно имеют дело с конечными множествами.Элементами множества могут быть самые разнообразные предметы любой природы, как конкретные (растения, животные, предметы обихода и т. д.), так и абстрактные (числа, геометри­ческие фигуры, отношения и т. д.), или изображения таких объектов. Чаще всего мы будем пользоваться множествами, элементами, кото­рых являются знакомые детям предметы или их изображения. При этом изображение птички так и будем называть птичкой, изобра­жение дерева деревом и т. п. Мы будем также пользоваться специальным дидактическим материалом.