Подмножество. Дополнение множества и отрицание предложения

Рассмотрим теперь некоторое свойство, которым могут обладать или не обладать элементы нашего универсального множества.

Свойство «быть красным» выделяет из универсального множе­ства подмножество красных блоков или фигур. Свойство «быть круглым» выделяет из этого множества другое подмноже­ство—круглых блоков (или фигур).

Термин «подмножество» применяется в математике в смысле «часть множества». При этом, однако, не исключаются два крайних случая: когда часть множества (подмножество) совпадает со всем множеством, т. е. все элементы множества обладают рассматри­ваемым свойством, и когда эта часть не содержит ни одного элемента, например ни один блок не обладает свойством «быть зеленым». В последнем случае эту часть называют пустым мно­жеством и обозначают символом «0».

Эти крайние случаи тоже можно смоделировать конкретными ситуациями, создаваемыми с помощью блоков (или фигур). Если, например, рассматривая только красные блоки (теперь множество красных блоков является универсальным), мы предлагаем выделить из них те, которые являются красными, то выделенное подмноже­ство совпадает со всем рассматриваемым множеством. Если же предлагается из этих блоков отделить (переложить в другой ящик) все те, которые являются синими, то этот ящик останется пустым, т. е. фактич«ски в множестве красных блоков выделено «пустое множество» блоков.

Пусть множество М — некоторое универсальное множество, мно­жество А — некоторое подмножество множества М. Символически это обозначается «.А &М». Говорят также, что множество А вклю­чается в М. Это означает, что все элементы множества А яв­ляются также элементами множества М. Выделение подмножества с помощью некоторого свойства может быть смоделировано с по­мощью игры с одним обручем. Опишем эту игру.

На полу (или на столе) располагают обруч (такой, который используется в художественной гимнастике, или поменьше). У каж­дого ребенка в руке один блок. Дети по очереди располагают блоки в соответствии с заданием воспитателя, например внутри обруча — все красные, а вне обруча — все остальные (рис. 1)

Эта задача, как правило, не вызывает затруднений у детей, уже различающих блоки по цвету и понимающих, что значит внутри и вне обруча. После решения задачи предлагаются два вопроса: «Какие блоки лежат внутри обруча?» и «Какие блоки лежат вне обруча?». Первый вопрос несложен для детей, так как

ответ содержится в условии уже решенной задачи. Второй вопрос на первых порах вызывает зат­руднения, так как в условии за­дачи говорится «все остальные», здесь же спрашивается «ка­кие?»- Ответ, который мы хотим получить («Вне обруча лежат все некрасные блоки»), появляется не сразу. Такой ответ, как: «Вне обруча лежат все желтые и все синие блоки», по существу пра­вильный. Но мы хотим выразить свойство блоков, оказавшихся вне обруча, как отрицание свойства тех, которые лежат внутри. Можно предложить детям назвать свойство всех блоков, лежащих вне обруча, с помощью одного слова, используя при этом слово «красные». Некоторые дети догадываются, и в дальнейшем, при проведений этой игры в различных вариантах, эти трудности уже не возникают.

В ходе этой игры отрабатывается переход от выражения неко­торого свойства к выражению отрицания этого свойства:

внутри обруча вне обруча и т. п.

Отвлечемся теперь от описанной конкретной игры и рассмот­рим рисунок 1 как изображение некоторого множества М (с помощью множества точек внутри прямоугольника) и некоторого подмноже­ства А (с помощью множества точек круга), выделенного из М некоторым свойством Р, т. е. Л = {*£М|Р (х)}. Оставшиеся элементы М, т. е. те, которые не принадлежат А, не обладают свойством Р. Множество всех этих элементов (тоже подмножество М) назы­вается дополнением множества А (до универсального мно­жества М) и обозначается через А (А с чертой). Если множество А характеризуется свойством Р, то его дополнение А характеризуется свойством не Р (если элементы А красные, то элементы А некрасные). Отрицание предложения Р (х), т. е. предложение « не обла­дает свойством Р», или «неверно, что х обладает свойством Р», обозначается символом «ПР(л:)». Таким образом, А—[х£М\~\Р{х)\,

т. е. множество А представляет собой множество всех х_из М, не обладающих свойством Р. Другое определение множества А (допол­нения множества А : А ={х 6 М \ х £ А}, т. е. Л — множество всех эле­ментов из М, не принадлежащих А. Как видно, образование допол­нения А приводит к образованию отрицания предложения, выра­жающего характеристическое свойство множества А.

Отрицание некоторого предложения Р конструируется на рус­ском языке с помощью слов неверно, что, поставленных перед отрицаемым предложением, или, если Р — простое предложение, ис­пользованием частицы не перед сказуемым.

Каждое предложение (имеется в виду высказывание или преди­кат) может быть истинным или ложным (предикат обращается в истинное или ложное высказывание при подстановке значений-вме­сто переменных). Истину обозначим через И, ложь — через Л. И и Л будем называть истинностными значе ни я м и предложений.

Если предложение Р истинно, то его отрицание IP ложно, если же Р ложно, то его отрицание IP истинно. Эта связь между ис­тинностными значениями и определяет отрицание. Она может быть записана в виде следующей таблицы, называемой истинност­ной таблицей (или таблицей истинности):