Связь между линейной и угловой скоростью.

Пусть за малый промежуток времени Dt тело повернулось на угол Dj (рис. 2.17). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси, проходит при этом путь DS = R×Dj. По определению линейная скорость точки будет равна

.

Итак, v = w·R и чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем с большей линейной скоростью она движется.

Найдем теперь линейное ускорение точек вращающегося тела. Нормальное ускорение равно

. Итак,

Модуль тангенциального ускорения .

Отсюда

.

Итак,

(2.7)

Таким образом, как нормальное, так и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением R (R – расстояние от точки до оси вращения).

Полученное ранее уравнение v=wR устанавливает связь между модулями векторов и . Пользуясь специальным математическим аппаратом («векторное исчисление») можно установить связь между самими векторами.

Известно: векторным произведением двух векторов и называется вектор (обозначение: ), обладающий следующими свойствами:

1. Модуль вектора равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла a между ними (рис. 2.18).

2. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и , причем направление его связано с направлениями и по правилу правого винта: если смотреть вслед вектору , то совершаемый по кратчайшему пути поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке.

Пусть тело вращается вокруг оси Z с угловой скоростью w (рис. 2.19). Легко видеть, что векторное произведение на радиус–вектор точки, скорость которой мы хотим найти, представляет собой вектор, совпадающий по направлению с вектором и имеющий модуль, равный w×r×sina=w×R, т.е. v.

Таким образом, векторное произведение

.

Иногда применяют другие обозначения векторного произведения

или

Учитывая, что , получим

Первое слагаемое в последнем выражении равно нулю, т.к. sina = 0. Следовательно, .

Итак,

, (2.8)

где - перпендикулярная к оси вращения составляющая радиус-вектора , проведенного из точки, взятой на оси.

Модулю векторного произведения можно дать простую геометрическую интерпретацию: выражение AB·sina численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2.20), вектор в этом случае ^ плоскости чертежа и направлен за чертеж.

Рис. 2.20

ЛЕКЦИЯ 3







Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 751; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2021 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.