Системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую

Системой счисления обычно называют способ наименования и записи чисел. Можно выделить два основных класса, на которые разделяются системы счисления - позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах вес цифры (то есть тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции).

Рассмотрим более подробно позиционную.

За основание системы можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная, восьмеричная и т.д.

– двоичная (используются цифры 0, 1);

– восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

– шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

В таблице 2.1 представлена запись чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах.

Таблица 2.1 – Запись чисел в системах счисления, кратных двум

Проблема выбора системы исчисления для представления чисел в памяти компьютера имеет большое практическое значение. От этого зависят надежность и экономичность в работе.

Более распространенной для представления чисел в памяти компьютера является двоичная система счисления. Эта система близка к оптимальной по большинству характеристик. Преимущества двоичной системы счисления перед другими системами:

– для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - не намагничен и т.п.), а, например, не с десятью, как в десятичной;

– представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

– одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Троичное кодирование, несмотря на ряд технических попыток, успеха не имело. В Советском Союзе в 60-е г. выпускался малой серией компьютер с троичной системой счисления при кодировании, который назывался «Сетунь», компьютеры с десятичной системой счисления так и не вышли из стен лабораторий.

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не будет частное, меньшее или равное q-1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления вместе с последним частным, записанных в обратном порядке.

Пример.

Перевод числа 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

то есть 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

Для обратного перевода, то есть из двоичной в десятичную систему счисления, установим простую, но и одностороннюю связь между одним и тем же числом, записанным одновременно в десятичной и двоичной системах. Перевести любое двоичное число в десятичное можно по формуле

(a_n…a₃a₂a₁)₂ = (a₁ + a₂·2 + a₃·2² + … + a_n·2^n-1)₁₀.

Пример:

1101₂ = (1 + 0·2 + 1·4 + 1·8)₁₀ = (1 + 4 + 8)₁₀ = 13₁₀;

1110₂ = (0 + 1·2 + 1·4 + 1·8)₁₀ = (2 + 4 + 8)₁₀ = 14₁₀.

Эта формула может быть применена и для перевода из любой
q-ичной системы счисления в десятичную.

Пример:

Переведем из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную числа 45 и 6Е, воспользовавшись вышеприведенной формулой.

45₈ = (5·8⁰+4·8¹)₁₀ = (5+32)₁₀ = 37₁₀;

6Е₁₆ = (14·16⁰+6·16¹)₁₀ = (14+96)₁₀ = 110₁₀.

При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения в порядке их получения. Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.

Пример.

Перевод числа 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

то есть 0,35₁₀ = 0,01011₂ = 0,263₈ = 0,59₁₆ .