Представление в компьютере целых и дробных чисел

Одним битом, как уже упоминалось, могут быть выражены два понятия: 0 или 1. Если количество битов увеличить до двух, то уже можно выразить четыре различных понятия: 00, 01, 10, 11. Тремя битами можно закодировать восемь различных значений: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Увеличивая на единицу количество разрядов в системе двоичного кодирования, увеличиваем в два раза количество значений, которое может быть выражено в данной системе, то есть общая формула имеет вид:

,

где N – количество независимых кодируемых значений;

m – разрядность двоичного кодирования, принятая в данной системе.

Используя двоичную систему счисления, компьютер в одном байте может хранить любое целое число в диапазоне от 0 до 255 (от 00000000 до 11111111), а в двух байтах от 0 до 65535.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код. Последние две формы применяются особенно широко.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа - двоичный код его абсолютной величины. Например:

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы - нулями. Например:

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Числа, имеющие дробную часть, также называют вещественными. В большинстве программных систем при их написании вместо запятой принято писать точку. Так, например, число 5 – целое, а числа 5.1 и 5.0 – вещественные.

Для кодирования вещественных чисел используется 80-разрядное кодирование. При этом число предварительно преобразуют в форму представления чисел с плавающей точкой или нормализованную форму. В нормальной форме число представляется в виде произведения

X = m×q ^p,

где m – мантисса числа;

q – основание системы счисления;

p – порядок.

Например, для числа 3,1415926 = 0,31415926 × 10¹ мантисса равна 0,31415926, а порядок равен 1. Для задания числа в нормальной форме требуется задать знаки мантиссы и порядка, их модули в q-ичном коде, а также основание системы счисления. Нормальная форма представления чисел неоднозначна, ибо взаимное изменений m и p приводит к плаванию точки (запятой). Например, десятичное число 73,28 в нормальной форме может быть записано в следующих вариантах:

73,28 = 73,28× 10⁰ = 7,328 × 10¹ = 0,7328× 10² = 0,07328 × 10³ = …

Количество цифр в целой и дробной частях мантиссы и в порядке может быть любым. На знак числа и знак порядка требуется 2 бита. Если остальные 6 бит байта отдать под порядок (2⁴ = 64), то получается достаточно большой диапазон по порядкам. При однобайтном порядке диапазон изменения чисел составляет от 2^-128 до 2¹²⁷ или приблизительно от 10^-38 до 10³⁸. Для большинства случаев этого бывает достаточно, так как на практике точность измерений обычно не превышает 10^-8. Что касается мантиссы, то можно заметить, что чаще всего используются числа со сравнительно короткой мантиссой от 3 до 5 десятичных цифр и довольно редко – с мантиссами от 10 до 15 цифр. Для записи мантиссы берут 3 байта, при этом точность составляет 2²⁴ или 10⁸. Таким образом, получается 4 байта вместе с байтом знаков и порядка, что согласуется с размером ячейки для длинных целых чисел. Действительные числа с длинной мантиссой до 15 значащих цифр обеспечиваются удвоением количества байтов, отводимых под число, причем 4 дополнительных байта отдаются целиком мантиссе. Этим способом достигается так называемая двойная точность вычислений.

Для хранения дробных чисел в памяти компьютера требуется запоминание не только нулей и единиц, образующих двоичное представление числа, но и запоминание позиции разделителя (десятичной точки), отделяющего целую часть от дробной.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.

Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.