Экспериментальная демонстрация уравнения Бернулли

Выполнил:

Проверил:

Казань – 2005

Цель работы: 1) уяснение физического смысла уравнения Бернулли; 2) определение потерь напора в трубопроводе переменного сечения; 3) ознакомление со способами измерения средней и локальной скоростей движения жидкости.

Схема установки

Сущность работы. Как известно, при установившемся движении невязкой, несжимаемой (идеальной) жидкости полная удельная (т. е. отнесенная к единице количества жидкости) энергия потока остается постоянной величиной вдоль линии тока.

Для элементарной струйки невязкой жидкости уравнение Бернулли обычно записывают в виде энергий, отнесенных к единице веса жидкости:

, (2.1)

где - скорость в рассматриваемом сечении элементарной струйки, м/с; р - давление в том же сечении. Па ; z - геометрическая высота расположения этого сечения относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения О - О, м; ρ - плотность жидкости, кг/м³; g - ускорение силы тяжести, м/с².

Если от элементарной струйки перейти к потоку в целом, то для его двух любых сечений i и j это уравнение может быть записано в развернутой форме:

, (2.2)

где индексы i и j - номера сечений; , - средние скорости в соответствующих сечениях, а давления , и высоты , относятся к центрам сечений.

В гидравлике энергия, отнесенная к единице веса жидкости, называется напором и измеряется высотой столба жидкости. В уравнении Бернулли w²/2g = h_ск - скоростной напор; р/ρg = h_пз - пьезометрический напор; z - геометрический напор. Сумма геометрического и пьезометрического напоров называется статическим напором. Следовательно, уравнение Бернулли можно сформулировать следующим образом: сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров (суммарный напор) в любом сечении потока невязкой жидкости есть величина постоянная. Из уравнения Бернулли следует, что увеличение какой-либо составляющей суммарного напора (например, скоростного напора) приводит к уменьшению другой составляющей (например, пьезометрического напора), и наоборот.

Таким образом, уравнение Бернулли является математическим выражением закона сохранения и превращения энергии применительно к движущейся идеальной жидкости.

Реальные жидкости являются вязкими. При движении вязкой жидкости вдоль твердой стенки трубы происходит торможение потока вследствие влияния сил трения между отдельными слоями, а также из-за действия сил молекулярного сцепления между жидкостью и стенкой. Поэтому наибольшего значения скорость достигает в центральной части потока, а по мере приближения к стенке она уменьшается до нуля. В турбулентном режиме движение вязкой жидкости сопровождается вращением частиц, вихреобразованием и перемешиванием. Все это требует затрат энергии, поэтому удельная энергия движущейся вязкой жидкости не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а постепенно расходуется на преодоление сопротивлений и, следовательно, уменьшается вдоль потока от сечения к сечению. Поэтому в уравнение (2.2) необходимо ввести потерю удельной энергии на преодоление гидравлических сопротивлений - потерянный напор Δh_i-j на участке между сечениями i и j, т. е.:

, (2.3)

где α_i и α_j - коэффициенты неравномерности распределения скорости по живому сечению потока; причем для ламинарного течения жидкости α=2, а для турбулентного можно считать α=1,1.

Уравнение Бернулли является основным при выводе многих расчетных формул гидравлики.

Пьезометрический напор в каком-либо сечении потока определяется с помощью вертикальной пьезометрической трубки. Нижний конец этой трубки, перпендикулярный к стенке трубопровода, соединен через отверстие в стенке с потоком жидкости, а верхний, открытый, - с атмосферой. Под влиянием давления жидкость в пьезометрической трубке поднимается на определенную высоту. Эта высота, отсчитанная от оси потока, является пьезометрическим напором в данном сечении потока.

Скоростной напор в потоке определяется с помощью трубки Пито и пьезометрической трубки. У трубки Пито изогнутый конец направлен против движения потока. Перед отверстием трубки скорость набегающей струйки потока уменьшается до нуля и образуется застойная зона, в которой давление согласно уравнению Бернулли возрастает. Под действием этого давления жидкость в трубке Пито поднимается на высоту h_пт, равную сумме пьезометрического и скоростного напоров: h_пт = h_пз + h_ск. Трубка Пито и пьезометрическая трубка должны быть установлены так, чтобы центры сечений на входе в эти трубки лежали в исследуемом сечении трубопровода. По разности уровней в них определяют скоростной напор и соответственно местную скорость в точке потока, совпадающей с центром сечения входа в трубку Пито:

(2.4)

Принадлежности: установка с трубопроводом переменного сечения, пьезометрические трубки, трубки Пито, секундомер.

Описание установки. Установка для демонстрации уравнения Бернулли состоит из напорного бака 1, наклонного трубопровода переменного сечения 2 и мерного бака 3 со сливным отсеком 4. Стальной трубопровод переменного сечения, по которому протекает исследуемый поток жидкости, состоит из четырех прямых участков постоянного сечения, между которыми имеются сужения. Диаметры участков d₁, d₂, d₃, d₄ указаны на стенде. В некотором сечении каждого участка трубопровода установлены пьезометрическая трубка и трубка Пито, центр изогнутого конца которой находится на оси трубы переменного сечения.

Для отсчета уровня воды в трубках имеются шкалы с началом отсчета от центров сечений.

Вода из трубопровода переменного сечения поступает в мерный бак 3 емкостью 28 литров (28∙10^-3м³). Вода в напорный бак подводится из водопроводной сети лаборатории. Ее количество регулируется вентилем 5. Расход воды в трубопроводе переменного сечения изменяется краном 6. Через вентиль 9 производится слив воды из мерного бака. Благодаря сливной воронке уровень воды в напорном баке поддерживается постоянным.

Порядок проведения опытов. Опыт начинается с открытия вентиля 5 и наполнения водой напорного бака до уровня сливной воронки. Затем открывается кран 6 и в трубе переменного сечения 2 устанавливается постоянный во времени расход воды, что характеризуется неизменным уровнем воды в измерительных трубках. При этом вентиль 5 должен быть открыт так, чтобы обеспечивался небольшой, но непрерывный слив воды через сливную воронку напорного бака.

После достижения установившегося движения отсчитываются уровни воды в трубках Пито и пьезометрических трубках во всех четырех сечениях. Фиксируются также значения геометрических напоров во всех сечениях, которые определяются как расстояния от центров сечений до плоскости сравнения, проходящей через ось горизонтальных участков Ш и IV. Необходимо убедиться в отсутствии воды в мерном баке, закрыть вентиль 9 и направить поворотную трубу в мерный бак 3. Одновременно с этим включается секундомер, который останавливается в момент полного заполнения бака (до уровня переливной стенки).

По окончании опыта последовательно закрываются вентиль 5, кран 6 и открывается сливной вентиль 9.

Таблица измеренных и рассчитанных величин:

№ сечения	z, см	hпз,см	hпт,см	τ, c	Vx106	Δhi-j, м	hск, м	Wimax, м/с	, м/с
м3/с
	9,5						0,01	0,443	0,245
	2,5					3,5	0,03	0,767	0,550
							0,09	1,33	1,055
							0,01	0,443	0,368

Расчеты:

Рассчитаем величины потерь напора на участках между сечениями трубы:

1)

2)

3)

Рассчитаем величины скоростных напоров в рассматриваемых сечениях:

1)h_ск1 = h_пт1 – h_пз1 = 57см-56см=1см

2)h_ск2 = h_пт2 – h_пз2 = 59см-56см=3см

3)h_ск3 = h_пт3 – h_пз3 = 58см-49см=9см

4)h_ск4 = h_пт4 – h_пз4 = 43см-42см=1см

Рассчитаем местные скорости движения жидкости на оси потока для каждого сечения:

1)

2)

3)

4)

Рассчитаем величины средних скоростей в сечениях:

1)

2)

3)

4)

Построим диаграмму Бернулли:

Вывод: мы уяснили физический смысл уравнения Бернулли; определили потери напора в трубопроводе переменного сечения; ознакомились со способами измерения средней и локальной скоростей движения жидкости.