Лекция 15. Кручение валов круглого и кольцевого поперечного сечения

Кручение валов круглого и кольцевого поперечного сечения

Закручивание валов вызывается моментами, действующими в плоскостях, перепендикулярных оси валов.

Проведем опыт над валом из резиноподобного материала

-закручивающий момент

φ- угол закручивания

В результате анализа данных опытов устанавливается:

1) Длина вала при кручении остается постоянной l=const

∆l(z)=0 –приращение

(1)

- нормальные напряжения на площадках, перпендикулярных оси вала, отсутствуют.

2) В поперечном сечении вала d=const

∆d=0

(2)на любой площадке, параллельной оси вала, нормальные напряжения равны нулю.

3)Все диаметральные линии в поперечных сечениях остаются прямыми, повернувшись на некоторый угол.

τ- касательные напряжения в поперечном сечении вала

ρ- полярный радиус конкретной точки поперечного сечения

(3)- касательные напряжения изменяется линейно с ростом расстояния от центра круга.

Записываем формулу для крутящего момента. Выделяем элементарную площадку dA, по которой действует напряжение τ.

(4)

Определение: крутящим моментом M(кН*м) в данном сечении вала называется внутренней силовой фактор (формула (4)), численно равный алгебраической сумме закручивающих моментов по одну сторону от данного сечения вала.

Эпюра М_кр при действии сосредоточенных закручивающих моментов имеет постоянные ординаты на каждом участке вала, и под каждым внешним моментом происходит скачок на величину данного момента.

Используя эпюру М_кр , можно подобрать поперечное сечение вала. С использованием формул (3), (4) выводим формулу для касательных напряжений вала.

(5)

По аналогии с изгибом вводим величину W_ρ– полярного момента сопротивления сечения.

(6)

Для круглого поперечного сечения:

,

Тогда:

По ГОСТу диаметры валов идут с определенными шагами:

d= 30мм, 35,40,45,50,55,60,65,70.75.80,85,90,95,100мм,…

d= 79.8мм

Принимаем из условия прочности диаметр вала d= 80мм

Докажем, что вал кольцевого поперечного сечения экономичнее по расходу материала вала кругового поперечного сечения.

D=90мм

d= 0.7*90=63мм

Возьмем d=65мм

ð Площадь кольцевого поперечного сечения:

Расход металла пропорционален площади, для вала кольцевого поперечного сечения экономия металла составляет

Кроме того, при использовании кольцевого поперечного сечения металл удаляется из той части вала, где напряжение τ мало, т.е. металл используется в этой зоне неэффективно.

Расчет валов на жесткость

В зависимости от скорости вращения вала нормируется угол закручивания вала в градусах на один погонный метр вала, что соответствует расчету вала на жесткость.

По аналогии с формулой для удлинений бруса при изгибе (м)

может быть записана формула для угла закручивания вала .

В данную формулу входит величина модуля сдвига, для которого теоретическое значение подсчитывается по формуле

(для стали),

где μ- коэффициент Пуассона, Е – модуль Юнга.

В градусной мере угол закручивания равен

Предположим, что

Отсюда можно получить величину I_ρ:

Опыт по определению модуля сдвига может быть проведен следующим образом:

=>

ð .

В опыте замеряется угол закручивания при различных значениях нагрузки Р. Так как величины и d известны, то можно подсчитать ряд значений модуля сдвига G и далее, вычислив среднее арифметическое данных значений, определить достоверную величину модуля сдвига для исследуемого материала.