Обратная матрица. Рассмотрим квадратную матрицу

Рассмотрим квадратную матрицу

.

Обозначим D=det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если D=0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение , где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1. Обратная матрица вычисляется по формуле

, (4.5)

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j}.

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример 2.10. Для матрицы найти обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А:

значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: , где А_{i j} (i,j=1,2,3) ‑ алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы.

, _,

_{, ,}

_{, ,}

_{, ,}

откуда .

Пример 2.11. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяем местами первый и второй столбцы:

.

К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на ‑2:

.

Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй;

.

Прибавим третий столбец к первому и второму:

.

Умножим последний столбец на ‑1:

.

Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,

.