Формулы Крамера. Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

и n вспомогательных определителей , которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

. (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

.

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители , то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы , а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:

Решение. Главный определитель этой системы

,

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители , получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов:

, ,

, .

Отсюда , , , , решение системы ‑ вектор .