Матрицы. Операции над матрицами
Прямоугольной матрицей размера ( ) называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде
(4.1)
или сокращенно в виде . Числа , составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть , если .
Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера , все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть , то матрицу называют квадратной порядка . Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:
.
Если все элементы диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой :
.
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком наверху.
Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу
,
которая будет транспонированной по отношению к матрице . В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.
Произведением матрицы на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы умножением на число l: .
Суммой двух матриц и одного размера называется матрица того же размера, элементы которой определяются по формуле .
Произведение матрицы на матрицу определяется в предположении, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .
Произведением двух матриц и , где , заданных в определенном порядке , называется матрица , элементы которой определяются по следующему правилу:
. (4.2)
Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы на соответствующие элементы k-го столбца матрицы .
Пример 2.1. Найти произведение матриц и .
Решение. Имеем: матрица размера , матрица размера , тогда произведение существует и элементы матрицы равны
, , ,
, , .
, а произведение не существует.
Пример 2.2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины , и , причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин стоит 50 ден. ед., в магазин ‑ 70, а в ‑ 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.
Молокозавод | Магазин | ||
Решение. Обозначим через матрицу, данную нам в условии, а через ‑ матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,
, .
Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:
.
Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй ‑ 3680 ден.ед.
Пример 2.3. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором . Используются ткани четырех типов , , , . В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор ‑ стоимость перевозки метра ткани каждого вида.
Изделие | Расход ткани | |||
Зимнее пальто | ||||
Демисезонное пальто | ||||
Плащ |
1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана ?
2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.
3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.
4. Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки.
Решение. Обозначим через матрицу, данную нам в условии, т. е.,
,
тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор умножить на матрицу :
Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу и вектор :
.
Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:
Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина
.
Итак, X (ден. ед).
Дата добавления: 2015-07-30; просмотров: 687;