Путь перемешивания для содержания газа и газовые потки

При решении задач динамики турбулентных потоков используют понятие пути перемешивания для импульса. Л. Прандтль определил этот путь как расстояние, проходимое частицей жидко­сти до потери своей индивидуальности вследствие смешения с ок­ружающим турбулентным потоком. Путь перемешивания характе­ризует перемешивающую способность потока. Это понятие ис­пользуют и в теории переноса газа. Имея в виду, что в диффузион­ных процессах основным является процесс выравнивания содержа­ния, путь перемешивания определяют как расстояние, которое проходит частица газовоздушной смеси до существенного изменения содержания находящегося в ней диффундирующего газа вследст­вие перемешивания с окружающей средой. В этом случае выраже­ние «потеря индивидуальности» толкуется как потеря частицей ее газового содержания, и путь перемешивания называется путем пе­ремешивания для содержания.

Если воздушный поток представить как совокупность шарооб­разных частиц, то путь перемешивания можно рассматривать как турбулентный аналог пути свободного пробега молекул, который совместно со скоростью их движения определяет интенсивность молекулярной диффузии газа.

В общем случае пути перемешивания для импульса и для со­держания не равны друг другу, хотя до недавнего времени послед­ний принимался равным пути перемешивания для импульса. Такое допущение может быть принято в качестве первого приближения только для пассивной примеси.

Путь перемешивания для содержания является важной газодинамической характеристикой, определяющей основной показатель интенсивности процесса турбулентной диффузии — коэффициент турбулентной диффузии.

Каждый из существующих четырех механизмов рас­пространения газообразной примеси в вентиляционном потоке (конвективный, диффузионный молекулярный и диффузионный турбулентный переносы и распространение примеси путем вы­теснения) характеризуется определенным количеством газа, пере­носимого газовым потоком через единицу площади в единицу времени. Соответственно отмеченным механизмам распростране­ния существуют конвективный, молекулярный диффузионный, турбулентный диффузионный газовые потоки и "поток расшире­ния".

Если через поверхность площадью S движется поток воздуха со средней скоростью U, то вектор расхода его через эту поверхность, Q_в = US. При содержании газа с в объеме Q_в вектор его расхода че­рез рассматриваемую поверхность за счет конвективного переноса потоком воздуха Q_г = сQ_в и вектор конвективного потока газа

J_k = Q_г /S=сU,(6.5)

а его компоненты по осям координат

j_kx = cu; j_ky = cv; j_kz = cw; (6.6)

где и, v, u - соответственно компоненты вектора абсолютной ско­рости U.

При определении молекулярного диффузионного потока газа исходят из его пропорциональности градиенту содержания газа (первый закон Фика):

j_м = - D_м·grad c, (6.7)

где D_м - коэффициент пропорциональности, называемый коэффи­циентом молекулярной диффузии.

Компоненты молекулярного диффузионного потока:

j_мx = -D_м·дс/дх; j_мy = -D_м·дс/ду; j_мz = -D_м·дс/дz. (6.8)

D_м не зависит от координат.

Знак "минус" в формуле (6.7) означает, что направление моле­кулярного диффузионного потока газа противоположно вектору градиента содержания, т.е. поток, направлен в сторону падения со­держания.

Турбулентный диффузионный поток газа можно выразить аналогично конвективному, используя, однако, вектор не усредненной, а пульсационной скорости u_п и не усредненное, а пульсационное значение содержания с_п. Тогда вектор мгновенного турбулентного диффузионного потока газа будет равен с_пu_п, а усредненного по времени

. (6.9)

Черта означает усреднение по времени. Компоненты этого потока по осям координат:

; ; (6.10)

где и_п, v_п, w_п - компоненты вектора мгновенной пульсационной скорости.

Турбулентный диффузионный поток, согласно идее Буссинеска о переносе импульса, определяют аналогично молекулярному, с той лишь разницей, что коэффициентом пропорциональности между потоком и градиентом содержания будет коэффициент турбулентной диффузии D_т, зависящий от ее направления:

j_т = - D_т·grad c, ; (6.11)

j_тx = -D_тx·дс/дх; j_тy = -D_тy·дс/ду; j_тz = -D_тz·дс/дz, (6.12)

где D_тx, D_тy, D_тz - компоненты коэффициента турбулентной диф­фузии.

Поток расширения - поток конвективный. Если некоторый объ­ем газовоздушной смеси со средним по объему содержанием газа с расширяется за счет ввода в него дополнительных количеств этого же газа, то компоненты потока расширения:

j_рx = cu_р; j_рy = cv_р; j_рz = cw_р; , (6.13)

где u_р; v_р;w_р - компоненты скорости расширения.

Поток расширения может быть положительным (газовыделение происходит в рассматриваемый объем) и отрицательным (в рас­сматриваемом объеме происходит поглощение газа).

Полный поток газа в точке

j₀=j_k+j_м+j_т+j_р (6.14)

Удельный вес каждого из четырех газовых потоков в общем ба­лансе газопереноса в выработке определяется конкретными усло­виями. В ядре турбулентного воздушного потока, движущегося с достаточно высокой средней скоростью, обычно преобладающим является конвективный поток газа, на втором месте стоит турбу­лентный диффузионный поток. Молекулярным потоком и потоком расширения в этих случаях можно пренебречь. При малых средних скоростях воздушного потока (например, камеры больших сече­ний) в его ядре может стать преобладающим турбулентный диффу­зионный поток. У твердых границ его, где усредненная и пульсационные скорости близки к нулю, повышается роль молекулярного диффузионного потока газа. Непосредственно на твердой границе перенос газа определяется только механизмами молекулярной диф­фузии и расширения (в случае выделения газа в выработку или его поглощения). В ядре воздушного потока с развитой турбулентно­стью турбулентный перенос происходит в сотни и тысячи раз ак­тивнее молекулярного.

Соотношение между турбулентным и молекулярным потоками определяется из выражений (5.11) и (5.7):

(6.15)

Аналогично определяется соотношение между компонентами потоков. Так, для поперечных относительно основного движения воздушного потока компонент

(6.16)

Пример. Оценим роль потока расширения для выработки в целом. Рассмотрим участок выработки при подземной разработке длиной 100 м, с площадью поперечно­го сечения 10 м². Удельное газовыделение в выработку на этом участке составляет 1,5 л/(мин·м²). Тогда при мощности пласта 1 м и двух обнажениях общее газовыделение на рассматриваемом участ­ке выработки составит 1,5×1×100×2 = 0,3 м³/мин. Следователь­но, скорость расширения вдоль выработки в две стороны и_р= 0,3 : (10·2) = 1,5·10^-2 м/мин. Если среднее долевое содержание газа на рассматриваемом участке выработки с = 0,005, то в соответ­ствии с формулой (5.13) поток расширения вдоль выработки будет равен 0,005·1,5·10^-2 = 7,5·10^-5 м³/(мин·м²). При существующих значениях коэффициентов молекулярной и турбулентной диффузии и продольном градиенте содержания, соответствующем принятому газовыделению и скорости воздуха в выработке 1 м/с и рав­ном 0,5·10^-5м^-1, продольный молекулярный диффузионный поток будет иметь порядок 10^-8 м³/(мин·м²), продольный турбулентный -10^-5м³/(мин·м²).