Линейное свойство определителя.

 

Определение 2. Некоторая строка ( ) является линейной комбинацией строк ( ) и ( ) с коэффициентами и , если .

Пользуясь этим определением, перейдем к самому свойству.

Свойство 3. Если в определителе -го порядка некоторая строка ( ) является линейной комбинацией двух строк ( ) и ( ) с коэффициентами и , то , где - определитель, у которого -ая строка равна ( ), а все остальные - те же, что и у , а - определитель, у которого -ая строка равна ( ), а все остальные - те же, что и у .

Для доказательства разложим каждый из определителей по -ой строке. Очевидно, что у всех разложений миноры соответствующих элементов будут одинаковы. Вычислим :

 

 

Итак, свойство доказано. Очевидно, оно справедливо и для столбцов.

Приведенные три свойства называются основными. Остальные являются их следствиями.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки или столбца определителя на число равносильно умножению определителя на число .

Для доказательства положим в свойстве 3 , тогда получим . Значит, общий множитель всех элементов некоторого ряда можно выносить за определитель.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки или столбца определителя равны 0, то и сам определитель равен 0.

Для доказательства разложим определитель по нулевому ряду.

Свойство 6. Определитель с двумя равными строками или столбцами равен 0.

Действительно, переставив местами равные строки или столбцы, получим тот же определитель, но по свойству 2 его знак изменится на противоположный. Итак, с одной стороны , а с другой . Следовательно, .

Свойство 7. Если соответствующие элементы двух строк или столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, согласно свойству 4 общий множитель можно выносить за определитель, и мы получим определитель с двумя равными строками, который по свойству 6 равен нулю.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки или столбца определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

Доказательство. Рассмотрим определитель . Прибавим к элементам второй строки элементы первой с коэффициентом :

.

Тогда, по свойству 3 получим:

.

После перечисления всех свойств определителей введем еще одно определение.

Определение 3. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя -го порядка называется число, равное , которое обозначается .

Значит, алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можно вычислить с помощью формул:

 

.

 

Пользуясь свойствами, любой определитель можно вычислить не на основании основного правила, а предварительно упростив его (приводя, например, к треугольному виду).

 


СЛАУ.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x1 , x2 , ..., xn:

Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:

S ni=1aij xj = bi , i=1,2, ..., n.

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b, где

, , .

Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правойчастьюсистемы. Матрица-столбец x, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением.

Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:

x=A -1 b.

 

Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера).

Если определитель D=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x1 , x2 , ..., xn, определяемое формулами Крамера

xi =Di / D, i=1,2, ..., n,

где Di - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом правых частей b.

 

Пример. Вычисление решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Решить систему:

D=|A|=6


х1 = 12/6=2, х2 = 6/6=1, х3 = 12/6=2.

 

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x1 , x2 , ..., xn

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

xn =dn , xi = di -S nk=i+1 cik xk , i=n-1, n-2, ...,1.

Матричная запись метода Гаусса.

  1. Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы


к ступенчатому виду


с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

o перестановка строк;

o умножение строки на число, отличное от нуля;

o сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).

  1. Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица
    ,
    последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

Пример.
Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение:

Выписав расширенную матрицу этой системы, после ряда элементарных преобразований (проследить порядок которых рекомендуем самостоятельно), получим:

откуда

Решая последнюю систему, находим

Здесь ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы и равен, очевидно, двум. Система имеет бесконечно много решений, каждое из которых можно получить, придавая х3 и х4 конкретные значения.

 

 








Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 4527;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.015 сек.