Антисимметрия при перестановке двух строк.

Свойство 2. При перестановке местами двух строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

Докажем для определителя второго порядка. Действительно,

; .

Для определителя -го порядка докажем это свойство по индукции. Пусть свойство справедливо для определителя -го порядка. Разложим определитель -го порядка по любой строке, отличной от переставленных. Тогда переставленные строки входят во все миноры, на которые умножаются элементы , но эти миноры являются определителями -го порядка и меняют свой знак при перестановке строк. Следовательно, и определитель -го порядка также меняет свой знак.