Простейшие операции над векторами

К простейшим операциям над векторами относится сложение и вычитание векторов и умножение вектора на скаляр. Все эти операции называются линейными.

1) Сложение векторов.

Определение 1. Чтобы найти сумму двух векторов и , необходимо конец вектора совместить с началом . Вектор , соединяющий точки и , будет их суммой.

Обозначается сума следующим образом: . Величину ее можно найти и другим способом. Начала векторов и совмещаются и на них как на сторонах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов.

Из правила параллелограмма видно, что сумма векторов обладает переместительным свойством

.

Если слагаемых больше, например, три: , поступают следующим образом. Строят вначале сумму , а затем, прибавляя , получают вектор .

Из рисунка видно, что тот же результат будет, если сложить вначале , а затем прибавить , то есть сумма векторов обладает сочетательным свойством:

.

Если при сложении нескольких векторов конец последнего совпадает с началом первого, то сумма равна ноль вектору . Очевидно, .

2) Разность векторов.

Определение 2. Разностью двух векторов и называется такой вектор , сумма которого с вычитаемым дает вектор .

Значит, если , то .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения разности. Откладываем из общей точки векторы и . Вектор соединяет концы векторов и и направлен от вычитаемого к уменьшаемому.

Видно, что если на векторах и построить параллелограмм, то одна его диагональ соответствует их сумме, а вторая - разности.

3) Умножение вектора на число.

Определение 3. Произведением вектора на число называется вектор , определенный следующими условиями:

1) ;

2) вектор коллинеарен вектору ;

3) векторы и направлены одинаково, если , и противоположно, если .

Очевидно, что операция умножения вектора на число приводит к его растяжению или сжатию. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на . Отсюда, .

Из определения 3 следует, что если , то векторы и коллинеарны. Отсюда вытекает определение коллинеарности векторов.

Определение 4. Любые два вектора и коллинеарны, если связаны соотношением , где - некоторое число.

Величину можно определить из отношения . Оно положительно, если векторы направлены в одну сторону, и наоборот отрицательно, если направление векторов противоположно.

Из построения параллелограмма легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством:

;

и сочетательным свойством

.

Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Обозначаются единичные векторы символами или .

Используя понятие единичного вектора, любой вектор можно представить следующим образом: .