Операции над матрицами
Пусть aij — элементы матрицы A, а bij — элементы матрицы B.
Линейные операции:
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен
bij = λaij
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
cij = aij + bij
Вычитание матриц A − B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой
cij = aij - bij
Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.
Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть
A + Θ = A
Все элементы нулевой матрицы равны нулю.
Нелинейные операции:
Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .
Возводить в степень можно только квадратные матрицы.
Транспонирование матрицы (обозначение: AT) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть
Если A — матрица размера , то AT — матрица размера
Свойства операций над матрицами
Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.
Коммутативность сложения: A + B = B + A.
Дистрибутивность умножения относительно сложения:
A(B + C) = AB + AC;
(B + C)A = BA + CA.
Свойства операции транспонирования матриц:
(AT)T = A
(AB)T = BTAT
(A − 1)T = (AT) − 1, если обратная матрица A - 1 существует.
Квадратная матрица и смежные определения
Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.
Для квадратных матриц существует единичная матрица E (аналог единицы для операции умножения чисел) такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно
EA = AE = A
У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю
Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица A - 1 такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица:
AA − 1 = E
Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 948;