Формули для обчислення масштабу проекції

Для знаходження формули масштабу зображення скористаємось формулою (4.5), яку представимо у вигляді

(4.26)

Вирази для часткових похідних нами вже отримано - ф-ли (4.22’). Підставивши квадрати цих виразів у (4.26) і додавши їх, отримаємо

В цій формулі збережено члени порядку . З врахуванням виразів для (без сфероїдних членів при ) та простих алгебраїчних перетворень остаточно знаходимо

(4.27)

Як видно із даної формули, при , тобто на осьовому меридіані, масштаб проекції рівний одиниці. При віддалені від осьового меридіана на схід і на захід значення масштабу швидко зростає.

Для отримання формули масштабу зображення у функції плоских прямокутних координат скористаємось другою формулою (4.19), яку, з прийнятими вище обмеженнями, запишемо

Застосовуючи формули обертання ряду для , знайдемо

звідки з прийнятою точністю

З врахуванням останніх двох виразів формулу (4.27) можна записати у наступному вигляді

(4.28)

Оскільки

де - середній радіус кривини еліпсоїда, то остаточно отримаємо

(4.29)

В останньому члені формули (4.29) замість приведено , що викличе похибку порядку на сфероїдні члени, якими знехтувано у членах порядку .

Масштаб зображення є дуже важливою характеристикою конформної проекції. Згідно формули (4.28) або (4.29) можна встановити величини і розподіл лінійних спотворень при переході з еліпсоїда на площину. Так легко замітити, що із збільшенням ординати лінійні спотворення зростають пропорційно ; постійному значенню ординати відповідає практично постійна величина масштабу . Величина радіуса

із зміною широти змінюється звісно, але досить незначно. Тому лінії рівних спотворень довжин в проекції Гаусса-Крюгера розташовуються практично паралельно осі абсцис на всій смузі проекції від екватора до полюса, а звідси виходить, що проекцію Гаусса-Крюгера найбільш оптимально застосовувати для зображення смуги, яка витягнута на еліпсоїді з півдня на північ. Межами такої смуги служать лінії рівних спотворень довжин .