Электромагнетизм. Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А
Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга.
Определить индукцию магнитного поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 9), отстоящей от оси одного проводника на r1 = 5 см, а от другого - на r2 = 12 см.
Решение. Для нахождения магнитной индукции в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого выделим направление магнитных индукций и полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически: = + (см. рис. 9).
Модуль вектора может быть найден по теореме косинусов
, (1)
где a - угол между векторами и .
Магнитные индукции В1 и B2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r1 и r2 от проводов до точки А:
Подставляя выражения В1 и B2 в формулу (1) и вынося выражение за знак корня, получаем
. (2)
Вычислим cosa по теореме косинусов, учитывая, что Ð a = Ð DАС (как углы с соответственно перпен-дикулярными сторонами):
,
где d - расстояние между проводами. Отсюда
Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:
= 309×10-6 Тл =
= 309 мкТл.
Пример 2. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток силой I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B = 1 Тл). Определить работу A, совершаемую внеш-ними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сто-рон, на угол j=90°.
Решение. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур (рис. 10):
A = -IDФ = I(Ф1-Ф2),
где Ф1 - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения;
Ф2 - магнитный поток, пронизывающий контур после перемещения.
Еслиj=90°, то Ф1 = B×S, а Ф2 = 0. Следовательно,
А = I×B×S = I×B×а2 = 100×1×(0,1)2 =1 Дж.
Примечание. Задача может быть решена другим способом, с использованием определения работы при вращательном движении:
А = МDj.
Предлагаем эти вычисления проделать самостоятельно и убедиться, что описанный выше способ решения задачи с использованием понятия магнитного потока более рационален.
Пример 3. В колебательном контуре, состоящем из индуктивности и емкости, максимальный ток в катушке равен Im = 1 А, а максимальное напряжение на конденсаторе равно Um = 1 кВ. С момента, когданапряжение равно нулю, до момента, когда энергия в катушке становится равной энергии в конденсаторе, проходит t = 1,56 мкс. Считая омическое сопротивление пренебрежимо малым, вычислить период колебаний контура и его энергию.
Решение. По условию задачи энергия магнитного поля в заданный момент времени равна энергии электрического поля в конденсаторе. Сумма этих энергий определяет полную энергию поля контура:
(1)
где L - индуктивность контура;
I - ток в контуре;
С - емкость контура;
U - напряжение на пластинах.
Полная энергия контура, выраженная через максимальное напряжение, равна
. (2)
Из формул (1) и (2) определяем, что
. (3)
Используя уравнение гармонического колебания, в котором отсчет времени ведется от момента, когда напряжение равно нулю, имеем
,
где Um - амплитуда напряжения (максимальное напряжение);
T - период колебаний;
t - время колебаний.
С учетом выражения (3) получаем
; .
Подставив числовые значения, находим Т:
,
откуда
.
Таким образом, период колебаний контура равен
Т = 8×1,57×10-6 = 12,6×10-6 с.
Вычислим теперь полную (максимальную) энергию контура. Она равна максимальной электрической энергии конденсатора (энергия магнитного поля при этом равна нулю) или максимальной энергии магнитного поля (при нулевой энергии электрического поля):
, , (4)
где Im - максимальный ток в катушке.
Используя формулу Томсона получаем
. (5)
Произведение правых частей равенств (4) равно квадрату полной энергии контура . Извлечение корня с учетом формулы (5) дает
Вычисляем полную энергию контура:
0,001 Дж.
Пример 4. По двум параллельным проводникам, расположенным на расстоянии 20 см друг от друга, текут токи одного направления величиной в 100 А. Длина проводников равна 3 м. Вычислить силу взаимодействия между проводниками, если они находятся в вакууме.
Решение. На проводники с током в магнитном поле действует сила Ампера, которая может быть найдена по формуле
,
где d - расстояние между проводниками;
l - их длина;
I1 и I2 - токи в проводниках;
m - магнитная проницаемость среды, равная для вакуума m = 1;
mо - магнитная постоянная.
Подставив в формулу известные нам значения, получаем
= 0,03 Н.
Пример 5. Внутри длинного соленоида, имеющего однослойную обмотку из провода диаметром d = 1 мм, находится стальной сердечник. Определить магнитную проницаемость сердечника при силе тока, равной I = 2 А.
Решение. Индукция намагничивающего поля, т.е. поля внутри соленоида без сердечника, вычисляется по формуле
, (1)
где k – число слоев обмотки.
Эта же индукция равна
, (2)
где Н – напряженность магнитного поля.
Из формул (1) и (2) следует, что
. (3)
Если внутрь соленоида поместить сердечник с магнитной проницаемостью , то индукция станет равной
. (4)
Отсюда с учетом соотношения (2) следует, что
. (5)
Подставляя в формулу (3) исходные данные, находим, что H = 2 кА/м, а затем по графику, изображенному на с.113 (см. приложение), для стали находим B = 1,25 Тл. Тогда
.
Пример 6. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов, равную U = 400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью H = 1 кА/м.
Определить радиус кривизны траектории и частоту обращения электрона в магнитном поле, если вектор скорости перпендикулярен линиям поля.
Решение. На движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца, которая сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона , где - нормальное ускорение. Тогда в проекции на направление ускорения с учетом выражений для силы Лоренца и нормального ускорения имеем
,
где e - заряд электрона;
v - скорость электрона;
B - магнитная индукция;
m - масса электрона;
R - радиус кривизны траектории;
a - угол между векторами и (в нашем случае он равен 90°, следовательно, sin a = 1).
Отсюда найдем R:
. (1)
Если обозначить кинетическую энергию электронакак T, то входящий в равенство (1) импульс электрона mv может быть выражен как . Используя равенство T = eU для определения кинетической энергии электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, получаем
. (2)
Магнитная индукция может быть выражена через напряженность H магнитного поля в вакууме как . Подставив полученные выражения в формулу (1), находим
. (3)
Производим вычисления:
м.
Частота обращения электрона в магнитном поле связана с его скоростью и радиусом соотношением . Подставив в это соотношение выражение (3) с учетом формулы(2), получаем
.
Произведем вычисления:
c-1 .
Пример 7.В однородном магнитном поле с индук-цией B = 0,1 Тл равномерно с частотой n = 10 об/c вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки равна S = 150 см2. Определить мгновенное значение ЭДС индукции в момент времени, когда угол поворота рамки равен .
Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции определяется уравнением Фарадея - Максвелла
, (1)
где - потокосцепление, связанное с магнитным потоком Ф и числом витков N соотношением
= NФ.(2)
Подставляя выражение (2) в формулу (1), получаем
.
При вращении рамки магнитный поток, пронизывающий ее в момент времени t, определяется соотношением
, (3)
где B - магнитная индукция;
S - площадь рамки;
- циклическая частота.
Подставив в формулу (2) выражение (3) и продиф-ференцировав по времени, найдем мгновенное зна-чение ЭДС индукции:
.
Учитывая, что , а , получаем
.
Произведем вычисления:
B.
Пример 8.Имеется катушка, индуктивность кото-рой равна L = 0,2 Гн, а сопротивление R = 1,64 Ом.
Найти, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через t = 0,05 с после того, как катушка отключена от источника тока и замкнута накоротко.
Решение. При выключении тока в цепи, содержащей R и L (рис. 11), и ²закорачивании² катушки ток в ней изменяется по закону
,
где Iо - значение тока до ²закорачивания² катушки.
Через промежуток времени t1 сила тока в катушке будет равна Тогда отношение токов будет следующим:
.
Произведем вычисления:
раза.
Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 4086;