Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов

Пусть на основании эксперимента требуется установить функциональную зависимость величины у от величины х:

у = j(х).

Пусть в результате эксперимента получено п значений функции у при соответствующих значениях аргумента.

Результаты записаны в табл. 1:

Таблица 1

Вид функции у = j(х) устанавливается или из теоретических соображений, или на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих экспериментальным значениям. (Эти точки будем называть «экспериментальными точками».) Пусть, например, экспериментальные точки расположены на координатной плоскости так, как изображено на рис. 8. Учитывая, что при проведении эксперимента имеют место погрешности, естественно предположить, что искомую функцию у = j(х) можно искать в виде линейной функции у = ах + b. Если экспериментальные точки расположены так, как указано на рис. 9, то естественно искать функцию у = j(х) в виде у = ах^b и т.д.

При выбранном виде функции у = j(х, а, b, с, …) остается подобрать входящие в нее параметры а, b, с, … так, чтобы в каком-то смысле она наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.

Широко распространенным методом решения данной задачи является метод наименьших квадратов. Этот метод заключается в следующем. Рассмотрим сумму квадратов разностей значений y_i, данных экспериментом, и функции j(х, а, b, с, …) в соответствующих точках:

. (61)

Подбираем параметры а, b, с, … так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение:

.

Итак, задача свелась к нахождению значений параметров а, b, с, …, при которых функция S(а, b, с, …) имеет минимум.

На основании теоремы 1 (необходимое условие экстремума) следует, что эти значения а, b, с, … удовлетворяют системе уравнений

, , , …,

или в развернутом виде:

(62)

Здесь имеется столько уравнений, сколько и неизвестных. В каждом конкретном случае исследуется вопрос о существовании решения системы уравнений (62) и о существовании минимума функции S(а, b, с, …).

Рассмотрим несколько случаев определения функции у = j(х, а, b, с, …).

I. Пусть у = ах + b. Функция S(a, b) в этом случае имеет вид (см. выражение (61))

.

Это функция с двумя переменными а и b (х_i и у_i – заданные числа; см. табл. 1). Следовательно,

т.е. система уравнений (62) в этом случае принимает вид

(63)

Получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными а и b. Очевидно, что система имеет определенное решение и что при найденных значениях а и b функция S(a, b) имеет минимум.

II. Пусть за аппроксимирующую функцию взят трехчлен второй степени

y = ax² + bx + c.