Пусть имеем функцию двух переменных

z = f(х, у).

Частные производные и , вообще говоря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций и можно дифференцировать как по х, так и по у.

Вторые частные производные обозначаются так:

,	здесь f дифференцируется последовательно два раза по х;
	здесь f сначала дифференцируется по х, а потом результат дифференцируется по у;
	здесь f сначала дифференцируется по у, а потом результат дифференцируется по х;
	здесь f дифференцируется последовательно два раза по у.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х, так и по у. Получим частные производные третьего порядка. Их будет, очевидно, уже восемь:

, , , , , , , .

Вообще, частная производная п-го порядка есть первая производная от производной (п – 1)-го порядка. Например, есть производная п-го порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, а потом п – р раз по у.

Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.

Пример 28. Вычислить частные производные второго порядка от функции

Решение. Последовательно находим

, , , , , .

Пример 29. Вычислить и , если .

Решение. Последовательно находим

, , ,

, , .

Пример 30. Вычислить , если .

Решение. , , , .

Естественно поставить вопрос, зависит ли результат дифференцирования функции нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным, т.е. будут ли, например, тождественно равны производные

и

или

и и т.д.

Оказывается, что справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функция z = f(х, у) и ее частные производные f¢_х, f¢_у, f¢¢_ху и f¢¢_ух определены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

(f¢¢_ху = f¢¢_ух).

Из данной теоремы как следствие получается, что если частные производные и непрерывны, то

.

Аналогичная теорема имеет место и для функции любого числа переменных.

Пример 31. Найти и , если .

Решение.

, , ,

, , .

Следовательно, .

Дифференциалом второго порядка от функции z = f(х, у) называется дифференциал от его полного дифференциала, т.е. d²z = d(dz).

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков: d³z = d(d²z); вообще d^пz = d(d^п-1z).

Если х и у – независимые переменные и функция f(х, у) имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам

;

.

Вообще, имеет место символическая формула

,

которая формально раскрывается по биномиальному закону.

Пример 32. Найти d³z, если z = x²y.

Решение. , , , , , , , .

.