Получаем

.

Произведем следующее преобразование в правой части:

. (30)

Но

(31)

Равенство (30) с учетом равенства (31) можно переписать так:

,

или

. (32)

Сравнивая (29) и (32), можем сказать, что выражение полного дифференциала функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) имеет тот же вид, т.е. форма дифференциала инвариантна, являются ли u и v независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пример 23. Найти полный дифференциал сложной функции

z = u²v³, u = x²sin y, v = x³e^y.

Решение. По формуле (32) имеем

Последнее выражение можно переписать и так: