Этапы построения математической модели ЭМ

Построение математической модели ЭМ необходимо выполнить в предлагаемой последовательности.

Этап 1.Используя метод вероятных путей магнитного потока (прил. 1, п. 2), разбить пространство в рабочем воздушном зазоре и прилегающие области на трубки магнитного потока простой геометрической формы так, как условно показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Схема разбивки рабочего воздушного зазора и прилегающей
области на трубки магнитного потока

На рис. 1.2 условно обозначены стрелками следующие трубки магнитного потока:

А – трубка потока между полюсными торцами магнитопровода а₁б₁в₁г₁ и а₂б₂в₂г₂ в форме прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами аи b, высота призмы – d;

В – трубка потока между ребрами полюсных торцов а₁г₁ и а₂г₂ в форме половины прямого кругового цилиндра диаметром d и высотой а;

С – трубка потока между гранями а₁г₁з₁д₁ и а₂г₂з₂д₂в форме половины прямого кругового полого цилиндра с внутренним диаметром d, толщиной стенки си высотой а;

D – трубка потока между вершинами полюсных торцов а₁ и а₂ в форме четверти шара диаметром d;

Е – трубка потока между ребрами полюсов а₁д₁ и а₂д₂ в форме четверти полой сферической оболочки с внутренним диаметром d и с толщиной оболочки с.

Трубка типа А ограничивает рабочий магнитный поток, остальные (В,С, D и Е) – магнитные потоки рассеяния.

Этап 2. Воспользовавшись формулами для проводимостей трубок магнитного потока, приведенными в прил. 1, п. 3, рассчитать проводимости трубок магнитного потока воздушного зазора ЭМ (рис. 1.2).

Проводимость L_d рабочего воздушного зазора (трубка потока типа А) вычислить по формуле

. (1.1)

Проводимость L₂ трубки с основаниями а₁г₁и а₂г₂ (трубка потока типа В) вычислить по формуле

L₂ = m₀0,26а. (1.2)

По аналогии проводимость L₃ трубки с основаниями а₁б₁и а₂б₂вычислить по формуле

L₃ = m₀0,26b. (1.3)

Проводимость L₄ трубки с основаниями а₁г₁з₁д₁ и а₂г₂з₂д₂ (трубка потока типа С) вычислить по формуле

. (1.4)

По аналогии проводимость L₅ трубки с основаниями а₁б₁е₁д₁ и а₂б₂е₂д₂ вычислить по формуле

. (1.5)

Проводимость L₆ трубки с основаниями а₁ и а₂ (трубка потока типа D) вычислить по формуле

L₆ = m₀0,077d. (1.6)

Проводимость L₇ трубки с основаниями а₁д₁ и а₂д₂ (трубка потока типа Е) вычислить по формуле

L₇ = m₀0,25с. (1.7)

С учетом симметрии формы магнитопровода полную проводимость рассеяния Λ_рас вычислить по формуле

L_рас = 2(L₂ + L₃ + L₄ + L₅) + 4(L₆ + L₇). (1.8)

Этап 3. Используя методы теории магнитных цепей (прил. 1, п. 1), составить магнитную цепь, моделирующую магнитную систему ЭМ (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Магнитная цепь, моделирующая магнитную систему ЭМ:

L_d – проводимость воздушного зазора; L_рас – полная проводимость трубок потоков рассеяния воздушного зазора; R_m – магнитное сопротивление магнитопровода;
M – МДС электрической катушки

Используя закон Ома для участка цепи и второй закон Кирхгофа на основании схемы рис. 1.3, можно записать три следующих уравнения:

; (1.9)

; (1.10)

U_m(1–2) + U_m(1–3) + U_m(3–4) = M, (1.11)

где U_m(1–2), U_m(1–3) и U_m(3–4) – магнитные напряжения соответственно на участках 1–2, 1–3, 3–4 магнитной цепи; M – МДС обмотки электрической
катушки.

По определению

M = NI, (1.12)

где I и N – соответственно электрический ток и число витков обмотки электрической катушки ЭМ.

Магнитное сопротивление магнитопровода R_m может быть учтено с помощью кривой намагничивания материала магнитопровода (см. прил. 1, п. 6).

При этом используются следующие соотношения:

; (1.13)

, (1.14)

где H_M и B_M – соответственно напряженность магнитного поля и магнитная индукция, являющиеся координатами точки кривой намагничивания, определяющей магнитное состояние материала магнитопровода ЭМ;
L_M и S_M – соответственно длина и поперечное сечение магнитопровода ЭМ, S_M = ab.

С учетом соотношений (1.9), (1.10) и (1.13) уравнение (1.11) можно
записать в виде системы трех уравнений:

; (1.15)

; (1.16)

, (1.17)

где F_d и F_рас – соответственно магнитный поток в рабочем зазоре и магнитный поток рассеяния ЭМ; U_M – магнитное напряжение на всем магнитопроводе.

На основании первого закона Кирхгофа для узла 1 (или 3) магнитный поток Φ_М в магнитопроводе равен (см. рис. 1.3):

F_М = F_d + F_рас. (1.18)

Магнитная индукция в рабочем зазоре определяется по формуле

. (1.19)

Для упрощения математической модели ЭМ примем два следующих допущения:

1) размеры a и b поперечного сечения магнитопровода ЭМ неизменны по всей его длине;

2) окно магнитопровода ЭМ имеет те же размеры, что и поперечное сечение обмотки его электрической катушки.

С учетом сказанного можно записать следующее соотношение для площади окна обмотки электрической катушки ЭМ:

, (1.20)

где H_K и L_K – соответственно высота и длина электрической катушки ЭМ.

Минимально допустимая площадь сечения обмотки с учетом наибольшей допустимой плотности тока j_доп должна быть равной:

, (1.21)

где K_зап – коэффициент заполнения сечения катушки обмоточным проводом.

С учетом геометрии магнитопровода (рис. 1.1) можно записать соотношение:

. (1.22)

Решая совместно систему уравнений (1.20)–(1.22), получим формулу для вычисления высоты катушки:

. (1.23)

Анализ рис. 1.1 позволяет установить, что средняя длина силовой линии магнитопровода равна:

. (1.24)

Уравнения (1.1)–(1.8), (1.10), (1.12), (1.14)–(1.19), (1.22)–(1.24), а также графики кривой намагничивания материала магнитопровода (прил. 1, п. 6) составляют математическую модель ЭМ.

Полученная математическая модель является нелинейной в связи с нелинейностью кривой намагничивания материала магнитопровода и анализируется графо-аналитическим методом, с применением метода последовательных приближений.

Используя уравнение (1.11) с учетом формул (1.13), (1.14), (1.17) и (1.18), после преобразований получим следующее уравнение:

(1.25)

где – полная суммарная проводимость трубок потоков рабочего зазора
с учетом магнитных проводимостей трубок потоков рассеяния.

Значение проводимости определяется по формуле

(1.26)

Зависимость между значениями напряженности магнитного потока и магнитной индукцией материала магнитопровода обозначим функцией и будем определять по основной кривой намагничивания (прил. 1, п. 6).

Полученная нелинейная система уравнений

(1.27)

описывает магнитное состояние ЭМ.

Система (2.27) может быть приведена к нелинейному уравнению:

(1.28)

которое решается одним из численных методов, например, методом деления отрезка пополам (прил. 1, п. 7).

Для реализации численного решения указанным методом уравнение (1.28) заменим функцией

(1.29)

Исследуем функцию (2.29) на монотонность, для чего вычислим ее производную:

(1.30)

Анализ соотношения (1.30) показывает, что величины существенно положительные, а производная при , что следует из анализа основной кривой намагничивания. Поэтому во всей области определения аргумента ( ) производная монотонно отрицательна и не имеет особенностей типа «экстремум».

1.2.2. Исследование связи между величиной магнитной индукции B_d
в рабочем зазоре ЭМ и током I в его электрической катушке
при различной степени насыщения материала магнитопровода