Разбиение и эквивалентность

Def. Система (конечная или бесконечная) непустых подмножеств А₁, A₂,..., А_n... множества А называется разбиением, если:

1) объединение множеств А_i образуют все A (т.е. ÈА_i=А);

2) множества А_i попарно не пересекаются (т.е. для любых i¹j справедливо А_i Ç A_j = Æ ).

Теорема о разбиении. Отношение I ÌА´А, будет отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда существует разбиение А₁, А₂,..., А_n,... множества А, что из xIy следует существование такого А_i, что x, yÎА_i.

Другими словами, отношение I является отношением эквивалентности в том и только в том случае, когда множество А можно разбить на пересекающиеся классы, в каждом из которых все элементы эквивалентны между собой. Такие классы называют классами эквивалентности или фактор-множествами.

Доказательство. Предположим, что I – отношение эквивалентности, т.е. оно является рефлексивным, симметричным, транзитивным. Наша задача – построить такое разбиение, чтобы между элементами каждого класса выполнялось отношение I. Введем для каждого xÎА множество В_x, состоящее из элементов эквивалентных х, т.е. В_x = {zÎA | xIz }.

Покажем, что два любых множества B_x и B_y либо совпадают, либо не пересекаются. Пусть zÎB_x Ç B_y. Это означает, что одновременно zIx и zIy. Тогда, в силу симметричности и транзитивности, получаем xIy. Пусть теперь v – произвольный элемент из B_x, т.е. выполнено отношение vIx. Тогда, вследствие транзитивности отношения I и соотношения xIy, получим vIy, т.е. vÎB_y. Точно также можно доказать, что если vÎB_y, то vÎB_x. Это означает, что всякий элемент v из B_x одновременно принадлежит и B_y и наоборот. Следовательно, два множества B_x и B_y, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают между собой.

Наконец, в силу того, что множества B_x построены для всех элементов х из A, и, в силу рефлексивности I, элемент х принадлежит своему множеству B_x, объединение B_x включает в себя все множество A. Это означает, что система {B_x} образует разбиение A, т.е. в одну сторону теорема доказана.

Докажем обратное. Пусть имеем разбиение множества А на непересекающиеся классы. Определим отношение I следующим образом: элемент x находится с элементом y в отношении I тогда и только тогда, когда они оба принадлежат одному классу. Тогда это отношение обладает свойством рефлексивности, т.к. сам элемент х принадлежит классу, элементом которого является.

Обладает отношение I и свойством симметричности, т.к. если x и y принадлежат какому-то классу, то это же можно сказать и про y и x.

Наконец, если имеют место отношения xIy и yIz, то это значит, что x, yÎB и y, zÎB, где B – какой-то класс. Таким образом, x, zÎB, т.е. между x и z установлено отношение I. Следовательно, I обладает транзитивностью. Значит, I – отношение эквивалентности. Теорема полностью доказана.