Упорядочение и безразличие

Будем рассматривать бинарные отношения с точки зрения их использования для описания и организации выбора. Для этого необходимо построить отношения с соответствующим набором свойств. Для выбора надо, по крайней мере, уметь из 2-х сравниваемых элементов выбрать лучший, т.е. нужно построить отношение предпочтения, которое, как минимум, обладает свойством асимметричности.

Введем следующие отношения.

P_уп – отношение строгого упорядочения, обладающее свойством асимметричности.

I_уп – отношение безразличия (толерантности). Это отношение исключает P_уп между двумя элементами, т.е.

x I_уп y Û ( x`P<sub>уп</sub> у и y`P_уп x ). (1)

Так как (x, y) и (y, x) не принадлежат P_уп, то нельзя сказать, что x лучше y, или x лучше y. Если воспользоваться понятием пересечения отношений, то I_уп можно также представить в виде

I_уп =`P_уп ÇP^d_уп. (2)

Покажем, что I_уп рефлексивно и симметрично.

Симметричность. Отношение xI_упy означает, что (x, y)ÏP_уп и (y, x)ÏP_уп. Отношение же yI_упx означает, что (y, x)ÏP_уп и (x, y)ÏP_уп. То есть, xI_упy и yI_упx эквивалентны. Значит, I_уп симметрично.

Рефлексивность. Так как P_уп антирефлексивно (см. задание 1), то (x, x) ÏP_уп и по определению (x, x)ÎI_уп . Значит, I_уп рефлексивно.

Можно дать другое определение отношения I_уп, как симметричного, рефлексивного отношения.

На базе введенных отношений строгого упорядочения и безразличия можно построить новое отношение

R_уп = P_уп È I_уп , (3)

которое называется нестрогим упорядочением.

Докажем, что R_уп полно.

Доказательство. Возьмем любую пару (x, y). Для нее возможны три случая:

а) (x, y)ÎP_уп; б) (y, x)ÎP_уп; в) (x, y)ÏP_уп и (y, x)ÏP_уп, т.е. (x, y)ÎI_уп.

Если имеют место случаи а) или в), то, по свойству объединения, (x, y) ÎR_уп. Если выполняется б) или в), то (y, х)ÎR_уп. Иными словами, в любом случае либо пара (x, y), либо (y, x) принадлежит R_уп. Значит, R_уп полно.

Свойство полноты можно принять в качестве определение отношения R_уп.