Понятие нечеткого множества

Во многих прикладных задачах, решаемых с помощью теории множеств, бывает сложно однозначно и четко ограничить набор элементов, принадлежащих данному множеству, т.к. возникает противоречие между формальной природой математики и привычкой человека мыслить неопределенными, расплывчатыми понятиями. (Куча камней это сколько штук? 5 слонов – это много, 10 муравьев – это мало и т.д.). Введением понятия нечеткого множества удалось в определенной мере преодолеть это противоречие.

Пусть Е – универсальное множество, x – элемент E, а Р – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству Р, определяется как множество упорядоченных пар

A={m_A(х) | x}, (1)

где m_A(х) – характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству Р, и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа “да-нет” относительно свойства Р. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар вида (1) где m_A(х) – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения уже в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M= [0, 1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M= {0, 1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.