Глава 1. Функции. Основные определения.

Пусть даны два числовые множества X и Y с элементами x и y соответственно X={x}, Y={y}. Мы говорим, что задана функция, если каждому числу x из множества Х по определенному закону сопоставлено число у из множества Y. Запись

 

y = f (x). (1.1)

 

Множество Х называется областью определения функции (обозначается D(f)), множество Y – областью изменения. Если каждому х сопоставлено единственное у, то мы говорим, что функция однозначна, если каждому х сопостовляется несколько у, то функция называется многозначной.

Если каждому у по определенному закону сопоставлено число х, то мы говорим, что задана обратная функция

 

x = f -1 (y). (1.2)

 

Для обратной функции множество Y является областью определения функции, а множество Х – областью изменения.

Основными способами задания функции являются:

1. аналитический, когда функция задается при помощи математических знаков и их комбинаций, например

 

y = sin(x);

 

2. графический, когда функция задается с помощью графика, например

3. табличный, когда функция задается таблицей или списками пар, например

 

(1,2); (2,5) (4,2)….

При такой записи первое число это х, а второе у.

Если область определения функции симметрична относительно оси Y, то можно ввести понятия четности и нечетности функции. Четной называется функция удовлетворяющая условию

 

f (-x) = f (x). (1.5)

 

График такой функции симметричен относительно оси Y. К четным функциям относятся, например, y = cos (x).

Нечетной называется функция удовлетворяющая условию

 

f (-x) = - f(x). (1.6)

 

График такой функции симметричен относительно начала координат. К нечетным функциям относятся, например, y = sin(x).

Функция называется возрастающей(убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е.

 

возрастающая функция

и

убывающая функция.

 

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.

Число х0 называется корнем функции, если

 

f (x0) = 0.

 

Например, lg (x) = 0 при х0 = 1.

Если функция задана на всей оси, т.е. область определения функции , то периодом функции называется наименьшее из чисел Т, удовлетворяющее условию

 

f (x + Т) = f(x) = f (x - Т). (1.7)

 

Пример 1. Найти область определения функции

 

 

Решение. Если числовая функция задана аналитически и область ее определения не указана, то считают, что эта область есть множество всех действительных значений аргумента, при которых выражение - действительное число. Для существования заданной функции необходимо, чтобы имело место неравенство . Для существования функции должно иметь место неравенство , откуда . Область определения исходной функции или .

Пример 2. Найти область определения функций:

Решение. Для приведенных выше функций области определения удовлетворяют условиям:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Следовательно,

;

;

;

;

;

.








Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 982;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.01 сек.