Формы представления числовой информации

Существует две формы представления чисел: естественная или с фиксированной запятой (точкой) и нормальная или с плавающей запятой.

Представление чисел с фиксированной запятой характеризуется тем, что положение запятой фиксируется перед каким-либо разрядом, например, перед старшим разрядом. В этом случае для машинного изображения числа Х должно выполняться условие

(2.11)

т.е. числа имеют вид правильных дробей.

В этом смысле число Х будет представлено в виде , где К масштабный коэффициент, величина которого удовлетворяет условию (2.11). Так как числа бывают положительные и отрицательные, то формат (разрядная сетка) разбивается на знаковую часть и поле числа (рис. 2.8а). В знаковую часть записывается информация о знаке. Обычно знак положительного числа «+» изображается символом 0, а знак отрицательного числа «-» изображается символом 1.

Диапазон представимых чисел составляет от до , где n - количество разрядов без знаковой части

Рис. 2.8. Представление чисел в форме с фиксированной запятой.

Задача выбора масштабного коэффициента К усложняется в связи с необходимостью сохранять соответствие разрядов всех чисел, с которыми оперирует компьютер.

Пусть разрядная сетка ЦВМ содержит 12 двоичных разрядов (рис. 2.8а). Надо определить масштабный коэффициент для чисел и

Для того, чтобы выполнить условие (2.11) необходимо число, большее по абсолютному значению, записать в виде . Отсюда (рис.2.8б), что соответствует величине масштабного коэффициента . Число Х₂ должно войти в разрядную сетку с сохранением соответствия разрядов, т.е. . Следовательно, или (рис. 2.8 в).

Из данного примера видно, что представление чисел в форме с фиксированной запятой может привести к погрешности представления. Так, для числа Х₂ абсолютная погрешность представления оценивается величиной части числа, не уместившейся в разрядную сетку, т.е. величиной . В некоторых случаях очень малые числа представляются в машине изображением, называемым машинным нулем. Если в результате какой-либо операции появится число, по абсолютному значению большее единицы, то возникает переполнение разрядной сетки, что нарушает нормальное функционирование ЦВМ.

Представления чисел в форме с плавающей запятой характеризуется тем, что число представляется в нормальной форме

, (2.12)

где m – мантисса числа х; р - порядок числа х.

Такое представление числа неоднозначно. Например, десятичное число 485,00 можно записать различными способами:

Для определенности обычно вводят некоторые ограничения. Наиболее распространено и удобно для распространения в ЭВМ ограничение вида

, (2.13)

где q – основание системы счисления. Из этого следует, что мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля: Мантиссу и порядок q –ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание в десятичной системе.

Форма представления чисел, для которой справедливо условие (2.13) называется нормализованной. Поскольку в этом случае абсолютное значение мантиссы находится в пределах где n – количество разрядов изображения мантиссы без знака. Поскольку положение разрядов числа в разрядной сетке машины не постоянно, такую форму представления чисел называют также формой представления с плавающей запятой. Формат машинного изображения числа с плавающей запятой должен содержать знаковые части и поля для числа (мантиссы) и порядка (рис. 2.9а). Кодирование знаков остается таким же, как и при представлении чисел с фиксированной запятой.

Рассмотрим пример записи чисел в форме с плавающей запятой. Пусть требуется записать в разрядную сетку ЦВМ двоичные числа . Эти числа следует представить в нормализованном виде, т.е. при выполнении условия (2.13):

Поскольку для изображения порядка выделено пять цифровых разрядов и один разряд для знака, машинные изображения порядков:

машинные изображения их мантисс соответственно:

Представление чисел Х₁ и Х₂ в разрядной сетке показано на рис. 2.9 б,в соответственно.

В современных ЦВМ используется оба способа представления чисел, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки. Представление чисел в форме с фиксированной запятой хотя и доставляет некоторые трудности при программировании, связанные с введением масштабов, позволяет упростить схемы АЛУ и повысить его быстродействие, так как арифметические операции над числами выполняются без предварительных действий (выравнивания порядков).

Пример. Сложить два двоичных положительных числа 0,0000011 и 0,0000111

(3₁₀)

(7₁₀)

10₁₀
Представление чисел с плавающей запятой, хотя и обеспечивает максимальную точность представления, но усложняет схемы АЛУ, так как при сложении (вычитании) требует подготовительной операции – выравнивания порядков.

Пример. Сложить два двоичных нормализованных положительных числа и . Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо

Результат получился нормализованным. В противном случае его бы следовало нормализовать в соответствии с условием (2.13).