Амплітуда і фаза вимушених коливань (механічних і електромагнітних). Резонанс. Резонансні криві. Параметричний резонанс

Розглянемо залежність амплітуди А вимушених механічних (6) або електромагнітних (13) коливань від частотиω. Механічні й електромагнітні коливання будемо розглядати одночасно, називаючи коливну величину або зміщенням (х) коливного тіла від положення рівноваги, або зарядом (Q)конденсатора.

З формули (6) випливає, що амплітуда А зміщення точок від положення рівноваги має максимум. Щоб визначити резонансну частоту – частоту, при якій амплітуда А зміщення досягає максимуму, – потрібно дослідити на максимум функцію . Диференціюємо підкореневий вираз цієї функції за ω і прирівнюємо його до нуля:

,

Ця рівність виконується при двох умовах і фізичний зміст яких має лише додатне значення. Отже, резонансна частота буде дорівнювати

(15)

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти вимушувальної сили до , називається резонансом (відповідно механічним або електричним). У випадку коли значення практично збігається з власною частотою коливної системи. Підставляючи (15) у формулу (6), одержимо

(16)

На рис. 3 наведені залежності амплітуди вимушених коливань від частоти при різних значеннях коефіцієнта згасання β. З виразів (15) і (16) випливає, що чим менший коефіцієнт β, тим вище і правіше лежить максимум даної кривої. Якщо , то всі криві (див. рис.3) сходяться в одній точці, яка відповідає, відмінному від нуля граничному значенню амплітуди так званому статичному відхиленню.

Рис.3

У випадку електромагнітних коливань . Якщо то всі криві мають асимптотичне наближення до нуля. Показані на рис. 3 криві називаються резонансними кривими.

З формули (16) випливає, що при малому згасанні резонансна амплітуда зміщення буде мати вигляд

. (17)

Поділимо значення резонансної амплітуди (17) на статичне значе-ння амплітуди , одержимо добротність коливальної системи

(18)

де ─ логарифмічний декремент згасання.

Як видно з (18), добротність коливальної системи характеризує її резонансні властивості. Чим більше число добротності, тим більша резонансна амплітуда.

Рис. 4

Залежність φ від ω при різних коефіцієнтах β графічно показана на рис. 4, з якого випливає, що при зміні ω змінюється і зсув фаз φ. З формули (7) видно, що при ω = 0, φ = 0, а при незалежно від значення коефіцієнта згасання β, φ = π/2, тобто сила випереджає за фазою коливання на π/2. При подальшому збільшенні ω зсув фаз зростає і при , , тобто фаза коливань майже протилежна до фази зовнішньої сили. Сімейство кривих, зображених на рис. 4, називається фазовими резонансними характеристиками.

Зупинимось коротко на явищі параметричного резонансу. Виявляється, що існують інші види зовнішніх взаємодій, з допомогою яких можна значно збільшити амплітуду коливань. Цей вид взаємодій полягає в тому, що в такт коливань періодично змінюють один із параметрів коливальної системи. Так, наприклад, зменшують довжину математичного маятника l, коли він перебуває в крайніх положеннях і дещо збільшують її, коли маятник проходить положення рівноваги, від цього маятник почне сильно розгойдуватись, амплітуда коливань буде швидко зростати, тобто наступить явище параметричного резонансу.

Збільшення енергії маятника відбувається за рахунок зміни довжини маятника. Сила натягу нитки маятника в цьому випадку є різною, – меншою в крайніх положеннях і більшою в момент проходження маятником положення рівноваги. При зменшенні довжини маятника (крайні положення) – зовнішні сили виконують від’ємну роботу, а при збільшенні його довжини – додатну. Оскільки додатна робота за модулем є більшою за від’ємну, то сумарна робота за час одного повного коливання (період коливань) є більшою за нуль.

Прикладом параметричного резонансу є коливання гойдалки. Без будь-яких зовнішніх впливів дитина, перебуваючи на гойдалці, сама здатна збільшувати амплітуду коливань. Потрібно лише в крайніх положеннях підніматись, а в положенні рівноваги – трохи присідати. В цьому випадку коливальна система поповнюється енергією за рахунок мускульної сили ніг дитини.

Явища резонансу можуть бути як шкідливими, так і корисними. Наприклад, при конструюванні машин і різного роду споруд необхідно, щоб їх власна частота коливань не збігалася з частотою можливих зовнішніх впливів, інакше можуть виникнути вібрації, які призведуть до значних руйнувань. З іншого боку, наявність резонансу дозволяє знайти навіть дуже слабкі коливання, якщо їх частота збігається з частотою власних коливань приладу. Так, телебачення, радіотехніка, прикладна акустика, що сприймають електричні коливання, основані на використанні явища резонансу.