Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу

 

Нехай матеріальна точка С одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою циклічною частотою у взаємо перпендикулярних напрямках (рис. 4).

 

Рис.4

 

При збудженні коливань матеріальна точка С буде рухатись по деякій криволінійній траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.

Рівняння коливань точки в напрямках осі x і осі y матимуть вигляд

 

(23)

 

де – спільна різниця фаз цих коливань.

 

Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь час t.

 

 

 

 

 

 

 

 

В результаті отримаємо

 

(24)

 

Рівняння (24) є рівнянням траєкторії результуючого коливання точки С. Це рівняння є еліпсом, осі якого повернуті відносно осей x і y. Орієнтація еліпса і величина його півосей залежить від амплітуд і і різниці фаз .

 

Розглянемо окремі випадки.

 

1. Нехай , де Тоді

 

звідки

(25)

 

Результуюче коливання є гармонічним коливанням вздовж прямої з частотою ω і амплітудою (рис.5).

Рис.5

Пряма утворює з віссю x кут

 

2. Нехай де

У цьому випадку

 

 

звідки

(26)

 

Результуючий рух – це гармонічне коливання вздовж прямої (рис.6).

3. Нехай де В результаті одержуємо рівняння

(27)

 

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, а його півосі дорівнюють відповідним амплітудам (рис. 7). Якщо , то еліпс перетворюється в коло.

Рис.6

Рис.7

Два окремі випадки і відрізняються напрямком коливання по еліпсу або по колу. У випадку, коли циклічні частоти взаємно перпендикулярних коливань, що додаються, різні, то замкнута траєкторія результуючого коливання досить складна.

Замкнуті траєкторії, які рисуються одночасно коливальною точкою у взаємно перпендикулярних напрямках, називаються фігурами Ліссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз коливань, які додаються.

На рис. 8 показана одна із найпростіших траєкторій, одержаних при додаванні взаємно перпендикулярних коливань з відношенням циклічних частот 1:2 і різниці фаз . Рівняння коливань мають вигляд:

 

, . (28)

 

Рис. 8

Якщо відношення частот дорівнює 1:2, а різниця фаз , то траєкторія коливань точки вироджується в незамкнуту криву (рис. 9), вздовж якої рухається точка то в одну то в протилежну сторони.

Рис. 9

Чим ближче до одиниці буде відношення частот , тим складнішою буде фігура Ліссажу. Для прикладу на рис. 10 наведена крива фігури Ліссажу з відношенням частот 3:4 і різницею фаз .

Рис. 10








Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 1910;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.