Расчет коэффициентов регрессии

Свойство ортогональности матрицы планирования позволяет рассчитывать коэффициенты уравнения регрессии (7.21) по методу наименьших квадратов, пользуясь следующими формулами:

b₀= ; b_i= ; (7.28, 7.29)

b_ij= ·x_ju (7.30)

Пример

Рассчитать коэффициенты уравнения регрессии y=b₀ +b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂ для полного факторного эксперимента типа 2². Расширенная матрица планирования и результаты эксперимента представлены в табл.7.3.

Таблица 7.3. Полный факторный эксперимент типа 2²

Номер опыта	Кодовые значения факторов	Парные взаимодействия факторов, Х1 ·Х2	Средние значения (выход продукта, %)
Х1 (температура 165-175оС)	Х2 (Продолжительность опыта 4-6 ч.)
	+1	+1	+1	У1=85,0
	-1	-1	+1	У2=50,8
	-1	+1	-1	У3=56,0
	+1	-1	-1	У4=66,2

Решение

Коэффициенты регрессии рассчитываются по формулам (7.28 - 7.30)

b₀= · (85,0 + 50,8 + 56,0 + 66,2) = 64,4;

b₂= ;

b₁₂ = .

Таким образом, результаты эксперимента можно представить в виде уравнения

У = 64,4 + 11,1Х₁ + 6,0Х₂ + 3,4 Х₁Х₂ .

Оценка значимости коэффициентов регрессии

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми – незначительными. Коэффициент в_i считается значимым, если выполняется условие

│в_i│ > │Δb_i│ (7.31)

при этом Δb_i = ±t_табл· S_B (7.32)

S_B = (7.33)

где Δb_i – доверительный интервал; S_B - среднеквадратичная ошибка (отклонение) в определении коэффициента регрессии ; t_табл - табличное значение критерия Стьюдента, которое определяется по выбранному значению доверительной вероятности Р и числу степеней свободы f=N(m-1).

Проверка адекватности математической модели производится по критерию Фишера F (см. табл. 7.4).

При неадекватности модели наиболее часто принимают решение об уменьшении интервалов варьирования факторов и повторении эксперимента. Эффективно включение в план эксперимента нового фактора из числа тех, которые в предварительном эксперименте отсеялись.

Таблица 7.4 Проверка модели на адекватность

Наименование показателей	Обозначения и формулы для расчета
Расчетное значение функции отклика	По найденному уравнению регрессии Ypu=b0+bixi + bijxixj+…
Количество значимых коэффициентов регрессии	B
Оценка дисперсии адекватности	S2ад= (7.34)
Дисперсия воспроизводимости (ошибка опыта)	S2y = (7.35)
Расчетное значение критерия Фишера	Fp = S2ад/S2y (7.36)
Табличное значение критерия Фишера	F табл – определяется в зависимости от Р, f1 и f2
Числа степеней свободы, связанные с числителем и знаменателем выражения (7.35)	f1 = N – B (7.37) f2 = N(m-1) (7.38)
Условие адекватности модели	Fp Fтабл (7.39)