Зонная структура твердых тел. Зоны Бриллюэна для кубических и генксагональных кристаллов.

Зоны Бриллюэна

вводятся в пространстве обратной решетки для определения минимального объема , которое содержит все значения компонент в.в. ; отвечающих физически неэквивалентным состояниям электрона в зоне (из-за периодичности в.ф).

Линейная одномерная решетка:

1-зоной Бриллюэна называют интервал значений:

2-зона симметрично расположена вокруг в интервале и -интервал

Первая -называется приведенной , т.к. любой можно состояние привести в и наоборот учитывая периодичность энергии в -пространстве.

Т.е рассматривание состояний электрона в решетке можно ограничить , а другие исключить, т.к они содержат другие эквивалентные состояния (физические)

”0„ -центр зоны

Двухмерная (плоская) решетка

Размеры между трансляциями

Комп. в.в. ; ; ;

;

-число атомов

Средний вектор для состояния:

Все компоненты отвечающие неэквивалентным физическим постоянным, заключены в пределах первой зоны Бриллюэна с и - тоже прямоугольная плоская решетка в К - пространстве.

Трехмерный кристалл

Простой куб----обратная решетка----зона Бриллюэна

↓ ↓

Куб куб с объемом

Гранецентрированная ОЦК→усеченный октаэдр

(куб)

Зона Бриллюэна

Минимальный по объему многогранник построенный симметрично относительно центра −точки =0 и включающей все возможные неэквивалентные физические состояния для электрона в кристалле.

Основные точки в зоне Бриллюэна п/п Г, X, L

Минимумы энергии электронов в зоне проводимости п/п с алмазной решеткой и решеткой сфалерита лежат в центре −точки =0−”Г„ в направлениях [111]−”X„ точка и [100]−”L„ точка.

2.4 Эффективная масса электрона в кристалле, её связь со структурой энергетических зон. Понятие дырки. Динамика электрона в периодическом поле изитропных и анизотропных кристаллов.

Эффективная масса носителей заряда в телах

В кристалле на электрон действуют огромные силы со стороны кристаллического поля U( ),которые превосходят по величине внешние силы со стороны электрических и магнитных полей.

Поэтому для описания динамики электрона под действием внешних полей с использованием законов механики для свободного электрона ввели понятие эффективной массы −m*

В эффективную массу m*”упрятали„ все внутренние силы Электроны в кристалле ускоряются только под действием внешних сил и m* связывает силу и ускорение .

Введем m*:

E −закон дисперсии−непрерывная функция в пределах имеющая экстремуму в различных точках .пусть в точке −находится экстремум функции E .

Разложим в ряд Тейлора функцию E вблизи малой окрестности

E =E( )+

в точке ,

где: −вторая производная по векторному аргументу =тензору второго ранга.

Запишем E в форме аналогичной для свободного электрона: E( )= , где −массасвободного электронаE =E( )+ ,

где −тензор обратной эффективной массы−размерность.

Обратной массы, т.к. размерность квазиимпульса совпадает с размерностью импульса.

( )−материальная константа веществапоэтому главные оси тензора обратной массы совпадают с главными осями (основными) симметрией кристалла.

Запишем тензор ( ) в главных осях, при этом =

= [ ], где −главные значения тензора обратной эффективной массы.

Запишем закон дисперсии в главных значениях тензора обратной эффективной массы:

E( )=E( )+ ,где: −кинетическая энергия электрона проводимости, имеющая разные массы по направлениям .

Величина 1: = −компоненты эффективной массы по направлениям .

Понятие m*−неформальное ,т.е m* позволяет описывать динамику электрона в периодическом поле под действием внешних сил, но только для энергий в узком интервале, вблизи экстремумов в зоне.

О знаке m*

В близи минимума энергии в зоне (дно зоны) тензор обратной эффективной массы имеет положительный знак ( ), то эффективная масса электрона −положительна ( ), в близи максимума энергии в зоне (потолок зоны) −( )− отрицательный знак, поэтому эффективная масса электрона отрицательна ( ).

Т.о у потолка зоны электрон будет как частица с отрицательной массой, что означает, что он ускоряется против направления действия внешней силы.

Электрон с заменяют квазичастицей с положительным зарядом = и положительной массой равной массе электрона.

Такая частица ускоряется нормально −по направлению силы −называют дыркой

Анизотропный и изотропный квадратичные законы дисперсии

Введение m* позволяет записать в квадратичной форме законы дисперсии E( ) для кристаллов различной симметрии, но вблизи экстремальных значений энергии, где справедливо понятие m*.

Анизотропный закон дисперсии E( )−эффективная масса−тензор.

Положим , E( ) ,то E( )=

Изотропный закон дисперсии−характерен для прямозонных п/п , для электронов вблизи точки ( )−эффективная масса (скалярная величина).

E( )= (1: ), −изотропная величина

Анизотропный закон E( )−характерен для электронов в зоне проводимости непрямозонных п/п.

E( )=

Оси x, y, z−главные оси симметрии кристалла и тензора обратной эффективной массы.

Поверхности равной энергии

E( )=const или E( )=const

Используется для описания зонной структуры кристаллов наряду с законом дисперсии.

E( )=const−поверхность второго порядка(трехосный эллипсоид)

пусть экстремум E лежит в точке

E( )=E( )+( )

Запишем уравнение E( )=const в канонической форме:

=1

a, b, c −полуоси эллипсоида

a= ; b= ; c=

Если −имеем эллипсоид вращения.

Если −то поверхность E( )=const−сфера (тензор вырождается в скалярную величину).

Физические свойства кристалла в этом случае изотропные, а в предыдущем случае анизотропные.

Динамика электронов в периодич. поле кристалла

Для описания динамики электрона используют классическую функцию Гамильтона, заменив импульс на квазиимпульс:

= E( )+V( )

E( )−кинетическая энергия

V( )−потенциальная энергия

Скорость электрона V( ) в разрешенном − состоянии энергетической зоны

Используем уравнение Гамильтона для скорости:

т.е. ( )−есть градиент энергии V( )−V( )=

значение ( ) совпадает с групповой скоростью волнового пакета, отчего движение квантовой частицы с энергией и импульсом

=

−равна квантовомеханической средней скорости

Особенности движения

V( ) определяется градиентом E( ), поэтому вектор скорости ( ) направлен по нормали к изоэнергетической поверхности E( ) = const

Если −тензор, то ( ) и не совпадают по направлению.

Вектор ( ) и совпадают по направлению, если - скаляр, т.е. для свободного электрона.

Особенности движения электрона у краев зон

У краев энергетических зон энергия электрона принимает экстремальные значения (E min и E max).

Поэтому , т.е. электрону соответствует не бегущая волна (волна Блоха), а стоячая, при значениях происходит отражение электронных волн от границ зоны Бриллюэна.

При приближении электрона к границе электронная волна тормозится решеткой и отражается. Стоячая электронная волна не участвует в переносе энергии.

Скорость является нечетной функцией волнового вектора = , поэтому средняя скорость по всей зоне будет равна нулю.

= (интегрируем в симм. пределах)

Т.о. при движении электронов, при отсутствии внешнего электрического поля не будет переноса зарядов, т.е. не будет возникать электрический ток.

Ускорение электрона в кристалле

можно определить, как изменятся скорость во времени:

Предположим, эффективная масса это , найдем -компоненту ускорения;

Энергия от t зависит через зависимость от t, поэтому:

Вывод: при тензорной эффективной массе электрон под действием в направлении получает ускорение в направлении . Направления ускорения и силы будут совпадать, если направлена вдоль главных осей тензора обратной эффективной массы.

Если эффективная масса- скаляр, то ускорение будет получать электрон всегда по направлению силы:

это соотношение для тензора справедливо для значений массы, равной

Особенности динамики электрона в кристалле связаны с одновременным действием внешней силы и кристаллического поля на электрон, обладающего волновыми свойствами.

Физический смысл понятия эффективной массы

Нарисуем графики: E( ); ;

При и наблюдается отклонение E( ) от квадратичной зависимости, вследствие того, что с ростом энергии увеличивается волновой вектор электрона, длина электрона

(*) уменьшается и становится сравнимой с межплоскостным расстоянием, что приводит к Брэгговскому отражению электронных волн от атомных плоскостей – с ростом возрастает доля отраженной волны, а затем торможение при

(**) скорость v:

в пределах от до электрон движется как свободный.

при - скорость достигает максимального значения, а затем в следствии торможения решеткой, падает до нуля.

Этому соответствует смена знака с плюса на минус.

Затем электрон отражается от точки к точки и снова движется в прежнем направлении, т.е. электрон совершает периодические движения во внешнем электрическом поле.

Вывод: эффективная масса в отличие от обычной массы не постоянна, она не является мерой инерции и не связана с силами тяготения.