Приклади розв’язування задач. 1. Алгебра складається з усіх відображень множини {1,2} в себе: , , ,

1. Алгебра складається з усіх відображень множини {1,2} в себе: , , , . Операцією є композиція ○ відображень. Скласти таблицю Келі та дослідити властивості операції в цій алгебрі.

Розв‘язування. Таблиця Келі для операції ○ в заданій алгебрі має вигляд

Як відомо композиція відображень є асоціативною, отже алгебра A = (X; ○} є півгрупою, де X = {a, b, c, d}. У півгрупі A є одиничний (нейтральний) елемент c, оскільки "x Î X, x○c = c○x = x. Отже, півгрупа A є моноїдом. Оскільки a○b = b, а b○a = a, то моноїд не є абелевим.

2. Перевірити, чи утворює групу множина R₊ операція T, якщо вона задається як a T b = a²b⁴.

Розв‘язування. Для того, щоб алгебра була групою необхідно, щоб у алгебрі існував нейтральний елемент. Умовою існування нейтрального елемента e є "x Î R₊, e T x = x T e = x. Нехай e₁ –лівий, а e₂ –правий нейтральний елементи. Тоді e₁ T x = e₁²x⁴ = x, звідси e₁ = x ^–3/2. Разом з тим x T e₂ = x²e₂⁴ = x і e₂ = x ^–1/4. Як бачимо e₂ ≠ e₁. Таким чином, нейтрального елемента не існує, і тому задана алгебра не є групою.

3. Показати, що група додатних дійсних чисел відносно операції множення (R₊; ×) ізоморфна групі дійсних чисел відносно операції додавання (R; +).

Розв‘язування. Для доведення ізоморфізму можна використати наступне бієктивне відображення ln : R₊ ® R, яке зберігає групові операції - ln(a×b) = ln(a) + ln(b).

4. Довести, що множина всіх чисел виду (a та b – цілі числа), які додаються та множаться як звичайні дійсні числа, є кільцем.

Розв‘язування. Справді, замкнутість цієї множини відносно операцій додавання та множення випливає зі співвідношень ( ) + ( ) = (a + b) + (c + d) та ( )( ) = (ac + 3bd) + (ad + bc) . Таким чином, наведені операції є дійсно бінарними операціями на заданій множині.

Перевіримо спочатку, що задана множина з операцією додавання є абелевою групою. Оскільки числа виду є частковим випадком дійсних чисел, то операція їх додавання є асоціативною й комутативною. Нейтральним елементом відносно додавання, очевидно, є елемент . Оберненим для елемента відносно операції додавання є елемент .

Числа виду є частковим випадком дійсних чисел. Тому й операція їх множення є асоціативною. Значить, вказана множина відносно заданої операції множення є півгрупою.

Як згадувалося раніше, операції множення та додавання на заданій множині є операціями над дійсними числами. Тому вказана операція множення є дистрибутивною відносно операції додавання.

Отже множина всіх чисел виду (a та b – цілі числа), які додаються та множаться як звичайні дійсні числа, є кільцем.

Зауважимо, що згадана множина не є полем, бо не існує нейтрального елемента відносно операції множення, як показують наступні міркування.

Нехай - нейтральний елемент відносно операції множення. Тоді повинна виконуватися рівність . З неї отримуємо, що . Як бачимо зліва стоїть ціле число, а справа – ірраціональне. Ми отримали суперечність.