Алгебраїчні операції

Нехай Х – довільна множина. n-арною операцією на множині Х називається відображення f: Хⁿ ® Х, яке кожному вектору (x₁, x₂, …, x_n) Î Хⁿ ставить у відповідність однозначно визначений елемент x Î Х. Це записується наступним чином: x = f(x₁, x₂, …, x_n). Таких операцій на множині Х можна задати декілька. Множина операцій, заданих на Х, називається його сигнатурою й позначається F = (f₁, f₂, …).

Множину Х разом з її сигнатурою F називаємо алгеброю (алгебраїчною структурою) та позначаємо A(X, F). Множина Х – це так звана множина-носій алгебри.

Найбільш поширеними є бінарні операції, які далі будемо називати просто операціями. Бінарна операція (або закон композиції) на Х – це довільне (але фіксоване) відображення f:Х² ® Х. Таким чином, будь-якій впорядкованій парі (x₁, x₂) елементів із Х ставиться у відповідність однозначно визначений елемент f(x₁, x₂) цієї ж множини Х. Часто бінарну операцію позначають якимось спеціальним символом: T, *, ◦, + та замість f(x₁, x₂) = z записують x T y = z. Коли зрозуміло про що йдеться, символ операції може пропускатися.

Операція Т називається асоціативною, якщо для будь-яких x, y, z Î Х виконується умова (x T y) T z = x T (y T z).

Операція Т називається комутативною, якщо для будь-яких x, y Î Х виконується умова x T y = y T x.

Операція T₁ називається дистрибутивною зліва відносно операції T₂, якщо для будь-яких x, y, z Î Х виконується умова x T₁(y T₂ z) =(x T₁ y) T₂ (x T₁ z). Операція T₁ називається дистрибутивною справа відносно операції T₂, якщо для будь-яких x, y, z Î Х виконується умова (y T₂ z) T₁ x =(x T₁ y) T₂(x T₁ z). Операція T₁ називається дистрибутивною відносно операції T₂, якщо вона одночасно є дистрибутивною зліва й справа.

Елемент е є нейтральним (одиничним) зліва відносно операції Т, якщо для будь-якого x Î Х виконується e T x = x. Елемент е є нейтральним (одиничним) справа відносно операції Т, якщо для будь-якого x Î Х має місце рівність x T e = x. Елемент е є нейтральним (одиничним) відносно операції Т, якщо він є одночасно нейтральним зліва й справа, тобто для будь-якого x Î Х виконується x T e = e T x = x. Якщо нейтральний елемент існує, то він є єдиним: дійсно, коли e₁¹ e₂, то з e₁ = e₁ T e₂= e₂ отримуємо суперечність.

Елемент x^-1 називається оберненим зліва до елемента x Î Х відносно операції Т, коли x^‑1 T x = e. Елемент x^-1 називається оберненим справа до елемента x Î Х відносно операції Т, коли x T x^-1 = e. Елемент x^-1 називається оберненим до елемента x Î Х відносно операції Т, коли він є одночасно оберненим зліва й справа, тобто x^-1 T x = x T x^-1 = e.

У випадку, коли алгебраїчна структура має скінченне число елементів, можна для кожної заданої на ній бінарної операції будувати так звану таблицю Келі, яка повністю описує дану операцію. Число рядків і стовпців таблиці рівне числу елементів алгебри, а на перетині рядка й стовпця записується результат виконання операції над відповідними цим рядку й стовпцю двома елементами. Побудова таблиці Келі для операції Т алгебри показана далі.