Поняття множини. Способи задання множин

Для наших цілей достатньо буде викладення основ так званої інтуїтивноїабо наївної теорії множин, яка в головних своїх положеннях зберігає ідеї та результати засновника теорії Г.Кантора.

В інтуїтивній теорії множин поняття "множина" належить до первинних невизначальних понять, тобто воно не може бути означено через інші більш прості терміни або об’єкти, а пояснюється на прикладах, апелюючи до нашої уяви та інтуіції. Такими поняттями в математиці є також поняття "число", "пряма", "точка", "площина" тощо.

Канторівський вираз: "Множина - це зібрання в єдине ціле визначених об’єктів, які чітко розрізняються нашою інтуіцією або нашою думкою" - безумовно не може вважатися строгим математичним означенням, а є скоріше поясненням поняття множини, яке заміняє термін "множина" на термін "зібрання". Іншими синонімами основного слова "множина" є "сукупність", "набір", "колекція", "об’єднання" тощо.

Прикладами множин можуть служити: множина десяткових цифр, множина літер українського алфавіту, множина мешканців Львова, множина парних чисел, множина розв’язків деякого рівняння та ін.

На письмі множини позначаються, як правило, великими літерами. Для деяких множин у математиці вживаються сталі позначення. Наприклад, N - множина натуральних чисел, Z - множина цілих чисел, Q - множина раціональних чисел, R - множина дійсних чисел, C - множина комплексних чисел тощо.

Об’єкти, з яких складається задана множина, називають її елементами. Елементи множин позначатимемо малими літерами латинського алфавіту. Той факт, що об’єкт a є елементом множини M записується так: aÎM (читається: "a належить M" або"a є елемент M"). Для того, щоб підкреслити, що деякий елемент a не належить множині M, вживають позначення aÏM.

Запис a, b, c,...ÎM використовують для скорочення запису aÎM, bÎM, cÎM,....

Множину називають скінченною, якщо кількість її елементів скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. В іншому разі множина є нескінченною.

Множина є визначеною, коли можна встановити, чи є будь-який об’єкт її членом чи ні.

Для задання множини, утвореної з будь-яких елементів, будемо використовувати два такі способи. В основі обох із них лежить позначення множини за допомогою фігурних дужок.

1. Якщо a₁,a₂,...,a_n - деякі об’єкти, то множина цих об’єктів позначається через {a₁,a₂,...,a_n}, де у фігурних дужках міститься перелік усіх елементів відповідної множини. З останнього зауваження випливає, що в такий спосіб можуть бути задані тільки скінченні множини. Порядок запису елементів множини при цьому позначенні є неістотним.

Так, множина десяткових цифр записується {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, множина основних арифметичних операцій - {+,-,*,/} або {*,/,+,-}, множина розв’язків нерівності (x-1)² £ 0 - {1}.

Слід пікреслити, що однією з основних ідей канторівської теорії множин був розгляд множини як нового самостійного об’єкта математичного дослідження. Тому необхідно розрізняти такі два різні об’єкти, як елемент a і множина {a}, яка складається з єдиного елемента a. Зокрема, множини можуть виступати в ролі елементів якоїсь іншої множини. Наприклад, множина всіх можливих невпорядкованих пар з елементів a, b і c (елементи в парі не співпадають) D = {{a,b},{a,c},{b,c}} складається з трьох елементів і задана цілком коректно.

2. Другий спосіб задання множин грунтується на зазначенні загальної властивості або породжувальної процедури для всіх об’єктів, що утворюють описувану множину.

У загальному випадку задання множини M має вигляд: M = {a | F(a)}.

Цей вираз читається так: "множина M - це множина всіх таких елементів a, для яких виконується властивість F", де через F(a) позначено властивість, яку мають елементи множини M і тільки вони.

S = { n | n - непарне число } або S = { n | n = 2k+1, kÎZ },

X = { x | x = pk, kÎZ },

F = { f_i | f_i+2 = f_i+1 + f_i, iÎN, f₁ = f₂ = 1 }.

Другий спосіб є більш загальним способом задання множин. Наприклад, введену вище множину D всіх невпорядкованих пар з елементів a, b і c можна задати так

D = { {x,y} | xÎ{a,b,c}, yÎ{a,b,c} і x ¹ y}.

Надалі будемо використовувати такі загальноприйняті позначення для числових множин, з якими часто зустрічаємось:

N={1,2,3,…} – множина натуральних чисел;

Z={…,-2,-1,0,1,2,…} – множина цілих чисел;

Q – множина раціональних чисел;

R – множина дійсних чисел;

C – множина комплексних чисел.

Множину називаємо скінченною, якщо вона має скінченне число елементів, і нескінченною, якщо вона має нескінченне число елементів.

У теорії множин використовується поняття порожньої множини. Вона позначається символом Æ.

Множина може взагалі не містити елементів, наприклад

S = {x | x – непарне число, що ділиться на 2} = Æ;

K = {x | x Î R, x² + 1 = 0} = Æ.

Для позначення цього факту вводиться поняття порожньої множини.

Це поняття відіграє дуже важливу роль при заданні множин за допомогою опису. Так, без поняття порожньої множини не можна говорити про множину відмінників студентської групи або про множину дійсних коренів квадратного рівняння, не пересвідчившись заздалегідь, чи є в студентській групі відмінники або чи має задане рівняння дійсні корені. Поняття порожньої множини дає змогу оперувати множиною відмінників групи, не турбуючись про те, чи є відмінники в групі, яка розглядається. Порожню множину умовно відносять до скінченних множин. Число елементів у ній рівне 0.

Таким чином, уведення порожньої множини дає можливість оперувати будь-якою множиною без попереднього застереження, існує вона чи ні.