Напряжения в поперечном сечении

Опыты показывают, что если на поверхности бруса круглого сечения нанести прямоугольную сетку, а на торцевой поверхности нанести радиальные линии (рис. 5.4), то после деформации кручения окажется, что:

B
B1
B
B1
j
g
Рис. 5.4
r
dA
t
 
T
x
dx

а)все образующие поворачиваются на один и тот же угол g, а прямоугольники, нанесенные на поверхности, превращаются в параллелограммы;

б) торцевые сечения остаются круглыми, плоскими, расстояния между ними не меняются;

в) каждое сечение поворачивается относительно другого на некоторыйугол j, называемый углом закручивания;

г) радиальные линии на торцевой поверхности остаются прямыми.

На основании этих наблюдений можно заключить, что может быть принята гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений), а в вале возникают условия чистого сдвига, в поперечных сечениях действуют только касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю.

Рассмотрим поперечное сечение вала, расположенное на некотором расстоянии х от торцевого сечения, где Мк = T (рис. 5.4). На элементарной площадке будет действовать элементарная сила t×, момент относительно оси вала, создаваемый этой силой равен (t×r. Крутящий момент Мк, в сечении равен

. (5.1)

Для того чтобы проинтегрировать это выражение, необходимо знать закон распределения напряжений в сечении. Выделим из вала элементарное кольцо длиной и толщиной dr (рис. 5.5).

Правый торец элемента повернется относительно левого на угол dj, образующая СВ повернется на угол g и займет положение СВ1. Угол g – относительный сдвиг. С одной стороны, из треугольника ОВВ1 найдем:

.

C
r
dr
B
B1
O
dj
g
dx
Рис. 5.5
tmax
 

 

 


С другой стороны, из треугольника СВВ1 получим: .

Приравнивая правые части полученных выражений, имеем: .

На основании закона Гука при сдвиге:

. (5.2)

Подставив выражение (5.2) в (5.1), получим:

.

Откуда

. (5.3)

Подставим значение в выражение (5.2) и получим:

. (5.4)

Таким образом, касательные напряжения при кручении прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки и одинаковы в точках, одинаково удаленных от центра тяжести сечения (рис. 5.5). При r = 0 получим t = 0.

Наибольшие напряжения возникают в точках контура сечения при r = R:

.

Величина отношения полярного момента инерции к радиусу вала называется моментом сопротивления сечения при кручении, или полярным моментом сопротивления .

Для сплошного круглого сечения .

Для кольцевого сечения , где .

Тогда максимальные касательные напряжения равны

. (5.5)

 

 








Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 1010;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.