Годограф рефрагированной волны

Рефрагированная волна образуется при прохождении луча под границу раздела по криволинейной, выпуклой книзу траектории (рис. 62).

Найдем кривизну луча и определим ее связь с градиентом скорости. Из рис. 66 находим кривизну k (Облогина, 1968):

. (IX.32)

Изменение угла di ищем из закона преломления:

. (IX.33)

Так как угол i мал, то cos di » 1, sin di » di; и
. Преобразуем (IX.33) пользуясь получен­ным выражением: . Отсюда

; . (IX.34)

Подставим (IX.34) в (IX.32):

. (IX.35)

Обозначим:

, (IX.36)

и, учитывая, что , окончательно получим выражение кривизны k

. (IX.37)

Формула (IX.37) связывает кривизну рефрагированного луча с градиентом скорости. Анализ ее показывает:

1) чем больше градиент скорости в геологической среде, тем больше кривизна луча k;

2) лучи имеют постоянную кривизну, т.е. дуги окружности, если скорость изменяется по линейному закону.

В самом деле, если

, (IX.38)

то

; . (IX.39)

При c = const k = const;

3) луч обращен выпуклостью книзу, если grad c положителен, т.е. скорость с глубиной возрастает. Если же скорость убывает, то луч из выпуклого становится вогнутым, т.е. имеет точку перегиба;

4) чем больше угол i выхода луча из источника, тем больше его кривизна.

Найдем уравнение рефрагированного луча. Из рис. 66 находим:

; ; (IX.40)

. (IX.41)

Введем согласно (IX.36) параметр p:

, (IX.42)

где с* – кажущаяся скорость. Следовательно,

sini = pc(z). (IX.43)

Так как , то выражение (IX.41) можно переписать в виде:

. (IX.44)

Мы получили интегральное уравнение рефрагированного луча. Найдем время пробега луча, т.е. годограф рефрагированной волны:

, (IX.45)

Из рис. 66 находим:

. (IX.46)

В итоге получаем интегральное выражение для годографа:

. (IX.47)

Теперь надо решить оба полученные уравнения (IX.43) и (IX.47). Зададимся линейным законом изменения скорости с глубиной (IX.38). Для решения уравнения (IX.44) воспользуемся простой формулой:

;

После подстановки пределов получим:

.

Возведем в квадрат обе части полученного уравнения и после простых преобразований получим:

. (IX.48)

Это уравнение окружности с координатами центра , лежащего на прямой, параллельной оси x, и радиусом R, равным:

. (IX.49)

Таким образом, при линейном возрастании скорости с глубиной рефрагированная волна распространяется по окружности, центр которой расположен на прямой , параллельной оси x (рис. 66).

Оценим z_max – глубину проникновения луча при данном законе изменения скорости:

, (IX.50)

. (IX.51)

Из (IX.51) найдем: . Так как

,

то после подстановки полученного выражения в (IX.46) получим:

. (IX.52)

Формула (IX.52) позволяет определить глубину проникновения луча рефрагированной волны при линейном возрастании скорости с глубиной. Максимальное значение скорости на глубине z_max определим из выражения:

, (IX.53)

где градиент скорости b равен:

. (IX.54)

Анализируя полученное выражение для z_max, видим, что глубинность всегда зависит от базы наблюдения (взрыв-прибор), т.е. расстояния x. Чем больше это расстояние, тем глубже сейсмическая рефрагированная волна проходит в земную кору. Количественный анализ этой формулы и ее значение для понимания сейсмических данных ГСЗ по результатам исследования в океане будут даны в следующем параграфе.

Теперь обратимся к годографу рефрагированной волны (IX.47):

.

Решение этого интеграла требует громоздких вычислений, поэтому воспользуемся более простым методом, предложенным Т. И. Облогиной (1968). Кажущаяся скорость c* в точке выхода луча на земную поверхность равна истинной скорости в вершине луча, т.е.

. (IX.55)

Следовательно,

. (IX.56)

Отсюда уравнение годографа будет:

. (IX.57)

Поскольку c(z_max), как нам известно (IX.53), то:

. (IX.58)

Это табличный интеграл вида . Поэтому

Но натуральный логарифм полученного выражения есть гиперболический синус:

.

Следовательно

. (IX.59)

Это и есть уравнение годографа рефрагированной волны для линейного закона изменения скорости. Лучи и годографы показаны на рис. 62. При других законах изменения скорости с глубиной годограф будет иметь иной вид.

Каждую точку годографа рефрагированной волны можно рассматривать как точку вступления фиктивной головной волны. Поэтому О.К. Кондратьев предложил рассчитывать глубину проникновения луча по формуле

, (IX.60)

где t₀ – время, определяемое по годографу (рис. 66), с₀ – средняя скорость в толще, где проходит луч; .

В соответствии с этим можно определить по точке излома годографа или по начальной точке ; или как среднее арифметическое из этих выражений:

. (IX.61)

Скорость в точке максимального проникновения луча, как было показано выше, равна кажущейся скорости, т.е.

. (IX.62)

Глубина H определяется по формуле:

. (IX.63)

Более точная оценка глубины проникновения рефрагированной волны может быть проведена по формуле Гертглотца-Вихерта, преобразованной в 1934 г. С. В. Чибисовым для целей сейсморазведки:

. (IX.64)

где x_нач < x <x – точки разбиения профиля x на участки x, в пределах которых функция с*(x) минимальна. Для определения кажущейся скорости с* годограф рефрагированной волны осредняется плавной кривой и затем графически дифференцируется.

Вычисления можно проводить по формуле прямоугольников:

, (IX.65)

где

. (IX.66)

Для случая линейной зависимости ;

, (IX.67)

где , до границы раздела . Годограф рассматривается как интегральная функция. Формула (IX.67) позволяет оценить длину годографа (x), необходимую, например, чтобы достичь границы Мохоровичича (подошвы земной коры).

При z_max = 40 км, с*(x)=8,1 км/с, x= 132 км.

Таким образом, для определения мощности земной коры в океане, сравнимой с мощностью коры континентов, включающей слой воды, осадков, базальтов и низов коры с соответствующими скоростями упругих продольных волн c₁ = 1,5 км/с, с₂ = 2,0 км/с, с₃ = 5,0 км/с, с₄ = 6,5 км/с, и на границе Мохоровичича c*(x) = 8,1 км/с, длина годографа, при которой начинается регистрация рефрагированных волн от подошвы земной коры, должна быть не менее 132 км (см. рис. 67).

Рис. 67. Эмпирически установленная по данным 268 годографов

(1950 – 1979 гг.) зависимость глубины сейсмозондирования от длины

профиля и сравнение ее с теоретической кривой (1) (по Орлёнку, 1985)

Рис. 68. К определению кривизны луча