Свободные колебания в контуре

Анализ линейных цепей основан на свойствах линейных уравнений и связях тригонометрических и показательных функций.

В момент времени , . Составим дифференцированное уравнение для этой цепи.

– 2-ой закон Кирхгофа для этой цепи.

; учитывая, что то

, где ;

– собственная частота контура,

- коэффициент затухания.

Рассмотрим случай ( (наиболее интересен для радиотехники).

Решением уравнения будет:

, где , т.е. зависимость заряда на конденсаторе от времени имеет характер затухающего колебания, частота которого, называемая частотой свободных колебаний, несколько меньше собственной частоты контура .

Из начальных условий определим и :

Начальные условия:

1.

2.

, при , , ,

, .

Откуда (из (2)) получим:

Из решения уравнения (2) продифференцируем его при условии получим, что .

Из 1-го начального условия:

Тогда решение уравнения запишем в виде (т.о. ( )

.

Т.к. , с учетом ( ( коэффициент затухания).

Условие ( означает, что затухание мало.

Закон изменения силы тока находим, дифференцируя по времени:

(т.к. , то первым слагаемым пренебрегаем)

(т.к. то)

, где – амплитуда тока.

- называется характеристическим сопротивлением контура, равное отношению амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде силы тока.

, где – период собственных колебаний.

– декремент затухания.

– количество периодов, за которое амплитуда уменьшается в раз.

– время, за которое амплитуда изменяется в раз.

Относительную убыль энергии в процессе колебания характеризует добротность .

, – добротность.

(с помощью 3-х параметров – можно описать колебания в любой системе).

- энергия запасаемая контуром

- характеризует потери

- характеризуют собственные колебания

При их помощи можно описывать колебания в контуре.