Способ задания движения.

Задать движение точки по отношению к избранной системе отсчета – это значит указать способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени.

Существуют три способа задания движения:

1. Векторный способ.

Положение точки в пространстве однозначно определенном заданием радиуса – вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в данную точку М.

Для определения движения точки нужно знать, как изменяется с течением времени , то есть должна быть известна функция

Рис. 2.1

. (1)

Годографом какого-либо вектора называют кривую, которую вычерчивает конец этого вектора при изменении его аргумента (предполагается, что начало вектора, находится в одной и той же точке).

Таким образом, годографом радиус – вектора является траектория точки.

2. Координатный способ.

Положение точки М в системе координат ОХУ определяется координатами х, y, z.

При движении точки М ее координаты изменяются с течением времени. Следовательно, координаты х, y, z движущейся точки, являются функциями времени

Рис. 2.2

(2)

Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Пусть движение точки М в плоскости задано уравнениями:

Из первого уравнения выразим время и подставим во второе: – полученная зависимость есть уравнение траектории точки.

3. Естественный способ задания движения.

Этот способ применяется в том случае, если траектория точки заранее известна.

Выберем на траектории неподвижную точку О, которую назовем началом отсчета дуговой координаты. Положение точки М на траектории будем определять дуговой координатой S, отложенной на траектории от начала отсчета О. Расстояния, отложенные в одну сторону от точки О, будем считать положительными, в другую – отрицательными, то есть установим

Рис. 2.3 направление отсчета дуговой координаты. При движении

точки М расстояние S от этой точки до неподвижной

точки О изменяется с течением времени:

– уравнение движения т. М (3)

2.2. Скорость точки.

1. Векторный способ задания движения.

Пусть в момент времени положение точки М определяется , а в момент .

Рис. 2.4

Вектор будем называть вектором перемещения точки за время . Отношение к ,называется средней скоростью за промежуток времени

(4)

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за которое произошло это перемещение, при стремлении этого промежутка времени к нулю

(5)

Скорость точки – это вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения.

2. Координатный способ задания движения.

Пусть движение точки задано

Тогда для радиуса – вектора точки М можно записать

, (*)

где – единицы орты осей х, y, z.

Согласно (5) .

Дифференцируем (*)

. (**)

С другой стороны для вектора справедливо соотношение

, (***)

где – проекции на оси х, y, z.

Сравнивая (**) и (***), получим

(6)

Модуль скорости точки

(7)

Направление скорости определяется направляющими косинусами:

3. Естественный способ задания движения.

Пусть в момент времени t положение точки М определяется координатой S, в момент –

Согласно (5)

(*)

Вычислим модуль и определим направление :

Вектор направлен так же, как .

Рис. 2.5

При направлении этого вектора стремится к направлению касательной к траектории в точке М.

Обозначим единичный орт касательной через

Таким образом , следовательно , так как .

Равенство (*) примет вид:

(8)

Модуль , направление совпадает с .

2.3. Ускорение точки.

1. При векторном способе задания движения.

Предположим, что в момент времени скорость точки , а в момент .

Предел приращения скорости к приращению времени за которое произошло это приращение, при условии, что , называется ускорением точки в данный момент времени.

(9)

2. При координатном способе задания движения.

Вектор скорости точки

С учетом (9)

(*)

Но для вектора ускорения точки имеем

(**)

Сравнивая (*) и (**), получим

(10)

Модуль ускорения точки

. (11)

Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами:

3. При естественном способе задания движения.

Пусть известна траектория точки.

Возьмем две близкие на траектории точки М и М₁– .

Вектор перенесем в точку М и проведем плоскость через . Эта плоскость, называется соприкасающейся плоскостью.

Плоскость перпендикулярная соприкасающейся, называется нормальной плоскостью. Плоскость перпендикулярная нормальной и соприкасающейся плоскостям называется спрямляющей плоскостью.

Рис.2.6

Три взаимно перпендикулярные плоскости:

нормальная, соприкасающая и спрямляющая образуют естественный трехгранник.

Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью. Орт главной нормали – . Линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей называется бинормалью траектории. Ось бинормали .

Три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты; главная нормаль, направленная в сторону вогнутости траектории; бинормаль, направленная по отношению к также, как ось z по отношению к осям х, y, называются естественными осями.

Угол между касательными в двух ближайших точках траектории называется углом смежности .

Кривизной кривой в точке М называется предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги ММ, между ближайшими точками траектории

(12)

Радиусом кривизны в точке М называется величина, обратная кривизне:

. (13)

Получим формулу для вычисления ускорения точки М. Согласно выражению (8) имеем:

Продифференцируем по времени обе части этого равенства

(*)

Вычислим .

Так как направление по главной нормали, то .

Подставим в (*)

Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости и определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений точки:

. (14)

Проекция ускорения на касательную определяется формулой:

. (15)

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Оно равно нулю, когда величина скорости остается неизменной. Кроме того, оно обращается в нуль в те моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений.

Величина нормального ускорения определяется формулой:

, (16)

где – радиус кривизны.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Оно равно нулю при прямолинейном движении точки, а также в точках перегиба траектории, так как в обоих случаях радиус кривизны обращается в бесконечность. Кроме того, в точках где V=0.

Модуль ускорения вычисляется по формуле:

. (16)

Рис. 2.7

Направление ускорения:

Некоторые частные случаи движения точки.

1. Прямолинейное движение

Так как при прямолинейном движении скорость изменяется только численно, то делаем вывод, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по численной величине.

2. Равномерное криволинейное движение

Равномерным называется такое движение, в котором численная величина скорости остается все время постоянной ( ):

Так как ускорение при равномерном движении появляется в результате изменения направления скорости, то нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Получим закон движения.