За теоремою косинусів

,

.

Два коливання і називаються когерентними, якщо різниця їхніх фаз не залежить від часу:

і .

Оскільки , то циклічні частоти когерентних коливань мають бути однакові, тобто . В будь-який час різниця фаз когерентних коливань дорівнює різниці їх початкових фаз: . Відповідно результуючі коливання – гармонічні з тією ж самою циклічною частотою , тобто

,

де

, .

В залежності від величини різниці початкових фаз коливань, які додаються, амплітуда А результуючого коливання змінюється в межах від

, при

до

, при ,

де 0, 1, 2, ... – довільне ціле невід’ємне число. Якщо , то кажуть, що коливання синфазні (знаходяться в одній фазі), а при кажуть, що коливання знаходяться в протифазі.

Гармонічні коливання, частоти яких відрізняються ( ), некогерентні, оскільки різниця їхніх фаз, яка дорівнює , безперервно змінюється з часом. При накладанні таких коливань виникають негармонічні результуючі коливання. Вектори амплітуд і коливань, які додаються (рис.9.6), обертаються з різними кутовими швидкостями. В результаті, побудований на них паралелограм безперервно деформується, а його діагональ – вектор результуючих коливань – змінює довжину і обертається зі змінною кутовою швидкістю.

Два гармонічних коливання з різними циклічними частотами і можна наближено вважати когерентними лише протягом часу , коли їхня різниця фаз слабко змінюється: , або , де – час когерентності розглядуваних коливань.

Негармонічні коливання, які виникають внаслідок накладання двох однаково спрямованих гармонічних коливань з близькими частотами, називаються биттям. В цьому випадку за початок відліку часу доцільно обрати момент, коли фази обох коливань і співпадають і дорівнюють . Тоді і , де . Результуюче коливання задовольняє співвідношення

,

де

, .

Зокрема, якщо , то

і

,

а отже

.

Величина , що характеризує амплітуду коливань при битті, змінюється в межах від до з циклічною частотою , яка називається циклічною частотою биття. Оскільки частота биттів набагато менша за частоту коливань ( ), змінну величину умовно називають амплітудою биття. Період биттів і частота биттів дорівнюють:

,

,

де і – періоди і частоти коливань, що додаються. Характер залежності s від часу t при битті наведено на рис.9.10 для випадку .