Аппроксимация КЭ

Имея КЭ разного типа, при выборе конечно-элементной модели сооружения можно вводить узлы с разным числом степеней свободы. Например, в плоской системе могут рассматриваться узлы как с тремя степенями свободы (рис. 14.2 а), так и с двумя (рис. 14.2 б) или даже с одной степенью свободы. В первом случае учитываются два линейных (поступательных) и одно угловое перемещение узла, во втором – два линейных перемещения, а в третьем − лишь одно поступательное перемещение. В пространственной системе узлы могут иметь шесть (рис. 14.2 в) или три степени свободы (рис. 14.2 г).

Рис. 14.2

Для упорядочения степеней свободы и соответствующих перемещений узлов КЭ все они нумеруются в определенном порядке и собираются в общий вектор перемещений u.

Чтобы воспользоваться принципом Лагранжа, вводятся так называемые координатные функции, аппроксимирующие непрерывное поле перемещений внутри КЭ через перемещения ее узлов:

.

Здесь – вектор перемещений внутренних точек КЭ,C– матрица координатных функций, – вектор коэффициентов. Элементы матрицы C выбираются в виде полиномов, непрерывных внутри КЭ. Если в полиноме учитывается минимальное число членов, то такой КЭ называется симплекс-элементом. При учете большего числа членов полинома КЭ называется комплекс-элементом.

В качестве простейшего примера рассмотрим ферменный КЭ с узлами i и j (рис. 14.3 а) в местной системе координат . Его узлы имеют по одной поступательной степени свободы по оси и соответствующие им узловые перемещения и . Допустим, что в узлах КЭ приложены силы и (рис. 14.3 б).

Рис. 14.3

Перемещения внутренних точек элемента будем аппроксимировать полиномом первой степени

.

Запишем его в матричной форме:

,

где называется матрицей координатных функций, а является вектором неизвестных коэффициентов.

Подставив и в наш полином, получим два равенства:

, .

С другой стороны, и (рис. 14.3 б). Учитывая их, предыдущие равенства перепишем так:

,

.

Тогда их можно записать в матричной форме

и представить как матричное уравнение

,

связывающее вектор узловых перемещений и вектор координат через представленную выше матрицу .

Определим вектор :

.

Тогда

или

.

Входящая сюда матрица H называется матрицей форм. Она позволяет аппроксимировать поле перемещений внутренних точек КЭ через перемещения узлов.

По аналогии с перемещениями поле внутренних усилий в КЭ можно аппроксимировать через вектор узловых сил по формуле

.

Например, для рассмотренного КЭ имеем

.