Аппроксимация КЭ
Имея КЭ разного типа, при выборе конечно-элементной модели сооружения можно вводить узлы с разным числом степеней свободы. Например, в плоской системе могут рассматриваться узлы как с тремя степенями свободы (рис. 14.2 а), так и с двумя (рис. 14.2 б) или даже с одной степенью свободы. В первом случае учитываются два линейных (поступательных) и одно угловое перемещение узла, во втором – два линейных перемещения, а в третьем − лишь одно поступательное перемещение. В пространственной системе узлы могут иметь шесть (рис. 14.2 в) или три степени свободы (рис. 14.2 г).
Рис. 14.2
Для упорядочения степеней свободы и соответствующих перемещений узлов КЭ все они нумеруются в определенном порядке и собираются в общий вектор перемещений u.
Чтобы воспользоваться принципом Лагранжа, вводятся так называемые координатные функции, аппроксимирующие непрерывное поле перемещений внутри КЭ через перемещения ее узлов:
.
Здесь – вектор перемещений внутренних точек КЭ,C– матрица координатных функций,
– вектор коэффициентов. Элементы матрицы C выбираются в виде полиномов, непрерывных внутри КЭ. Если в полиноме учитывается минимальное число членов, то такой КЭ называется симплекс-элементом. При учете большего числа членов полинома КЭ называется комплекс-элементом.
В качестве простейшего примера рассмотрим ферменный КЭ с узлами i и j (рис. 14.3 а) в местной системе координат . Его узлы имеют по одной поступательной степени свободы по оси
и соответствующие им узловые перемещения
и
. Допустим, что в узлах КЭ приложены силы
и
(рис. 14.3 б).
Рис. 14.3
Перемещения внутренних точек элемента будем аппроксимировать полиномом первой степени
.
Запишем его в матричной форме:
,
где называется матрицей координатных функций, а
является вектором неизвестных коэффициентов.
Подставив и
в наш полином, получим два равенства:
,
.
С другой стороны, и
(рис. 14.3 б). Учитывая их, предыдущие равенства перепишем так:
,
.
Тогда их можно записать в матричной форме
и представить как матричное уравнение
,
связывающее вектор узловых перемещений и вектор координат
через представленную выше матрицу
.
Определим вектор :
.
Тогда
или
.
Входящая сюда матрица H называется матрицей форм. Она позволяет аппроксимировать поле перемещений внутренних точек КЭ через перемещения узлов.
По аналогии с перемещениями поле внутренних усилий в КЭ можно аппроксимировать через вектор узловых сил
по формуле
.
Например, для рассмотренного КЭ имеем
.
Дата добавления: 2015-06-17; просмотров: 1106;