Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку ΔS и вычислим давление на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m₀υ -(- m₀υ) = 2m₀υ, где: т₀– масса молекулы, υ – ее скорость.

За время Δt площадки ΔS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием ΔS и высотой υΔt. Число этих молекул равно nΔSυΔt (n - концентрация молекул).

Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул, т.е. 1/6 часть, движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку ΔS будет 1/6 nΔSυΔt. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

ΔP=2m₀υ∙ nΔSυΔt = nm₀υ² ΔSΔt

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

p=ΔΡ/(ΔSΔt)= nm₀υ² (6.7)

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями υ₁, υ₂,..., υ_N, то целесообразно рассматривать среднеквадратную скорость

υ_cк= (6.8)

характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (6.7) с учетом (6.8) примет вид

p= nm₀υ_cк² (6.9)

Выражение (6.9) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

Учитывая, что n=N/V,получим

pV= Nm₀υ_cк²,

или

pV= N = W, (6.10)

где W – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Так как масса газа m=Nm₀, то уравнение (6.9) можно переписать в виде

pV= mυ_cк².

Для одного моля газа т=М (М — молярная масса), поэтому

pV_m= Mυ_cк²,

где V_m – молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона - Менделеева, pV_m=RT. Таким образом,

RT = Mυ_cк²

Откуда υ_cк = . (6.11)

Так как М= N_А m₀, где m₀ – масса одной молекулы, а N_А – постоянная Авогадро, то из уравнения (6.11) следует, что

υ_cк= = , (6.12)

где: k=R/N_A – постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют υ_cк =480 м/с, водорода – 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа

<w₀> = = = kТ (6.13)

пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее.