Теорема. Пусть в плоскости (Z) даны некоторая прямая или окружность и дробно-линейное отображение

Пусть в плоскости (Z) даны некоторая прямая или окружность и дробно-линейное отображение

(1) с .

Пусть Г – это образ линии при отображении (1), , и , – это соответственно области комплексной плоскости, ограниченные линиями и Г, тогда дробно-линейная функция (1) отображает любую из областей , на одну из областей или . Причем различные области и отображаются на различные области и .

Доказательство.

Возьмем две произвольные точки и , так как отображение (1) взаимно однозначно и отображает на Г, то образы точек не будут лежать на Г. Покажем, что одна из этих точек принадлежит области , а вторая – .

Пусть для определенности . Мы покажем, что . Предположим противное: пусть точка также принадлежит . Тогда эти две точки мы можем соединить отрезком прямой или дугой окружности, не пересекающим линии Г.

В силу кругового свойства дробно-линейной функции прообразом этого отрезка в плоскости (Z) является отрезок прямой или окружности, соединяющий точки и . Причем этот отрезок не пересекается с линией . Но такой отрезок не существует, так как и лежат в различных областях, ограниченных линией . Мы получили противоречие, следовательно, .

Зафиксируем теперь точку , а будем считать переменной точкой. Тогда ясно, что все точки отображаются в точки множества . Аналогично, фиксируя и рассматривая как переменную точку, мы устанавливаем, что область отображается в область .

Нам остается доказать, что отображается на всю область , а – на всю . Возьмем произвольную точку , обозначим ее прообраз через . Так как , то прообразы и обязательно должны принадлежать различным областям и (так как отображается в , а – в , так как в противном случае и принадлежали бы одной области). Но точка , значит , отсюда и следует, что отображается на .

Аналогичным образом показывается, что отображается на .