Теорема. Для того чтобы функция W = f(Z) имела в точке конечную производную , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части u =u (x,y)

Для того чтобы функция W = f(Z) имела в точке конечную производную , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части u =u (x,y), v = v(x,y), были дифференцируемы соответственно в и , и чтобы в этой точке ( ) выполнялись равенства

; (2),

(Коши-Римана, правильнее Даламбера-Эйлера).

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция W = f(Z) имеет в точке Z₀ конечную производную . Покажем, что функции u = u(x,y) и v = v(x,y) дифференцируемы в точке ( ), и что в этой точке выполняются равенства (2).

В силу существования производной имеет место представление (3), в котором величина при .

Введем обозначения: , , где и зависят от и и стремятся к нулю тогда, когда одновременно стремятся к нулю и . Таким образом, можно написать, что . Приравнивая здесь действительные и мнимые части. мы получаем, что

(4)

(5).

Так как при , то из (4), (5) следует, что функции u и v дифференцируемы в u( ), при этом в точке ( ) , , следовательно, выполняется условие Коши-Римана. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть вещественная и мнимая части u и v функции f(Z) дифференцируемы в точке ( ), и в этой точке выполняются равенства (2), покажем, что функция f(Z) имеет в точке конечную производную.

Введем обозначения. Пусть значения частных производных , , , в точке ( ) соответственно равны , (так как выполняются равенства (2)). Тогда в силу дифференцируемости функции u и v в точке ( ) в этой точке будут иметь место представления

,

где величины , , , , зависящие от и , стремятся к нулю, когда одновременно .

Таким образом,

Очевидно, модуль ( ). Так правая часть последнего неравенства стремится к нулю при одновременном стремлении к нулю и , то величина , когда .

Таким образом, в точке имеет место представление , где , , значит функция W=f(Z) дифференцируема в точке Z₀ и ее производная . Достаточность установлена.

Так как функции , являются непрерывно дифференцируемыми функциями, то сложные функции и также являются дифференцируемыми в точке ( ).

Покажем, что в точке ( ) выполняется условие (1).

Очевидно,

(так как ) и

.