Геометрический смысл аргумента производной комплексной функции

Пусть функция W = f(Z) имеет в точке конечную производную , вычислим геометрический смысл . С этой целью выпустим из точки кривую , такую что производная и существует.

Отображение W=f(Z) переведет эту кривую L в новую кривую , выходящую из точки (T и касательные).

Покажем, что кривая (лямбда), заданная уравнением тоже имеет в точке касательную. Очевидно, , значит (3).

Таким образом, кривая имеет в точке касательную, которая составляет с действительной осью угол равный величине (3). Из равенства (3) следует, что

(4).

Следовательно, – это есть угол, на который поворачивается касательная к кривой L в рассматриваемой точке Z₀ при отображении W=f(Z). Нетрудно видеть, что угол поворота касательной к кривой в точке Z₀ при отображении W = f(Z) не зависит от выбора этой кривой.

Если мы возьмем в плоскости (Z) две кривые и , образующие в точке Z₀ некоторый угол Q.

То при отображении W = f(Z) эти две кривые перейдут в новые кривые и плоскости (W), которые в точке также будут образовывать угол Q, так как касательные к и в точке получаются путем поворота касательных к и в точке на один и тот же угол, равный .